Постановка задачи. Задача оптимального приема дискретных сообщений

Задача оптимального приема дискретных сообщений

В процессе передачи по каналам связи сигналы подвергаются непредсказуемым искажениям так, что правильное восстановление сообщений может быть затрудненно. Однако в этом случае при разумно построенном приемнике оказывается возможным обеспечить необходимую верность приема сообщений.

Для этого приемник целесообразно построить так, чтобы он обеспечивал максимум верности приема, т.е. минимум вероятности ошибки . Именно такой подход был впервые предложен академиком В.А. Котельниковым и лежит в основе современной теории помехоустойчивости.

Дано:

1. Источник дискретных сообщений. Это значит, что известен ансамбль (множество) первичных сигналов (символов) , где – объем алфавита кода (источника) и их статистика – вероятность появления каждого символа.

2. Модулятор. Это значит, что известны правила преобразования каждого кодового символа (сообщения) в непрерывный сигнал, длительность которого .

, ,

3. Непрерывный канал. Канал задается своей математической моделью, описывающей связь его реализации с суммой сигнала и аддитивной помехи , например

	(1.1)
где		–	реализация суммы сигнала и аддитивной помехи на входе приемника (детектора)
		–	реализация случайного сигнала на входе приемника (детектора) без учета аддитивных помех
		–	реализация случайной помехи

4. Тактовая синхронизация осуществляется идеально.

Определить: каков должен быть оптимальный демодулятор (правило решения), чтобы обеспечить наилучшее качество приема.

Каждый демодулятор описывается законом, по которому поступивший на его вход непрерывный сигнал превращается в кодовый символ. Этот закон называется правилом решения, а реализующая его схема – решающей. Демодуляторы с различными правилами решения будут выдавать, различные решения, из которых одни верные, а другие – ошибочные.

Идеальным (оптимальным) приемником называется устройство, которое при заданных условиях обеспечивает максимум вероятности правильного приема или минимум средней вероятности ошибки. Поэтому его помехоустойчивость является потенциальной.

Можно сказать тоже самое по другому. Приемник реализующий наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов по выбранному критерию качества приема называется идеальным (оптимальным) приемником. А достигнутая им помехоустойчивость при котором обеспечивается максимальная вероятность правильного приема при заданном виде модуляции называется потенциальной помехоустойчивостью (т.е. максимальная вероятность правильного приема).

Смысл данного определения заключается в том, что принципиально невозможно превысить величину помехоустойчивости такого приемника, хотя и можно к ней приближаться. В противном случае это противоречило бы определению идеального приемника.

Поясним смысл принимаемых демодулятором решений.

В соответствии с теорией Котельникова принятый сигнал длительности , ограниченный по спектру верхней частотой может быть представлен - базой сигнала, где число отсчетов его амплитуды: .

Таким образом, каждый такой сигнал может быть представлен в виде точек в некоторой области B-мерного пространства, называемого пространством сигналов. Так как амплитуды у всех реальных сигналов ограничены, то ограничена и эта область.

Поэтому графически изобразим реализации сигналов и помех точками на плоскости.

  Рис. 1. Разбиение пространства принимаемых колебаний на непересекающиеся области.

Если правило решения выбрано, то это означает, что каждой точке пространства принимаемых колебаний приписывается одна из m гипотез, т.е. определенный передаваемый символом .

Пространство принимаемых сигналов окажется разбитым на m непересекающихся областей , каждая из которых соответствует определенной гипотезе. В такой трактовке различные приемные устройства отличаются способом разбиения пространства на области , т.е. правилом принятия решения. В двоичной системе пространство разбивается на непересекающиеся области и . Если помехи отсутствуют, то сигнал без .

В тех случаях, когда помеха не выводит точку за пределы области , решение оказывается верным при сигнале .

В противном случае возникает ошибка. Очевидно, изменяя границы между областями, можно влиять на вероятность ошибочного приема отдельных передаваемых символов.

Пример: если расширить область за счет области , то уменьшиться вероятность ошибки передаваемого символа . Очевидно, всегда существует такое расположение областей, которое лучше всякого другого.

Итак, в случае, если заданы модель дискретного канала и области , то существует матрица переходных вероятностей.

- это условная вероятность передачи символа при условии прихода реализации элемента сигнала . Ее называют апостериорной вероятностью символа .

Дата добавления: 2015-06-27