Аналитическое выравнивание по кривым роста

Аналитическое выравнивание по кривым роста используют для описания основной тенденции развития явления. (Кривыми роста называются функции, зависящие от одной переменной-времени t.)

Аналитическое выравнивание состоит из двух этапов:

1) Выбора функции (кривой роста или кривых роста)

2) Оценивание коэффициентов кривых роста.

Наиболее простой способ выбора формы кривой роста - визуальный, опирающийся на графическое изображение уровней временного ряда.

Все кривые роста можно разделить на три класса.

К 1-му классу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста

-многочлены различных порядков , (прямая, если р=1; парабола 2-го порядка, если р=2),

- показательные (экспоненциальные) кривые ,

- логарифмические кривые.

Ко 2-му классу относятся кривые, описывающие процесс, который в исследуемом периоде имеет предел роста. Функции, относящиеся ко 2-му классу, называются кривыми насыщения (модифицированная экспонента , гиперболические кривые ).

Если кривые насыщения имеют точку перегиба, то их относят к 3-му классу кривых роста и называют S - образными кривыми. Эти кривые рассматривают два последовательных процесса: один с ускорением в развитии, другой – с замедлением. Такие процессы часто рассматриваются в демографии, страховании, при определении спроса на новый вид продукции. К S -образными кривыми относятся логистические кривые , и кривая Гомперца .

После выбора типа кривой роста оцениваются коэффициенты выбранных кривых роста. Чаще всего оценки параметров модели определяются при помощи метода наименьших квадратов.

72. Суть метода наименьших квадратов состоит в нахождении таких оценок параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней () от фактических значений (y_t) была бы минимальной, т.е. оценки параметров находятся в результате минимизации выражения:

где n- длина временного ряда

Это условие выполняется, когда частные производные по коэффициентам a0, a1, и др. равны нулю.

Так, система нормальных уравнений для оценивания параметров линейной функции (прямой) выглядит следующим образом:

Для параболы 2-го порядка система нормальных уравнений выглядит следующим образом:

Для определения коэффициентов a и b экспоненциальной кривой нужно сначала прологарифмировать выражение. В результате этого получится уравнение прямой:

log y_t= A + Bt,

где А = log a,B = log b.

При нахождении параметров гиперболической функции в системе для оценки параметров линейной функции необходимо t заменить на 1/t.

Дата добавления: 2015-06-28