Свойства смешанного произведения

1)

.

Доказательство этих соотношений проводится аналогично выводу формулы (4). Чтобы их запомнить заметим, что при «циклической перестановке» векторов (вектор передвигается на следующее место, а последний – на первое) знак не меняется, а при перестановке двух соседних векторов знак смешанного произведения меняется.

2) Геометрический смысл смешанного произведения.

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах.

Для доказательства этого построим вектор , длина которого в соответствии с геометрическим смыслом векторного произведения, равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. площади основания параллелепипеда: . Из определения смешанного произведения , где - угол между векторами и . На рисунке рассмотрен случай, когда угол . Для этого случая получим, что высота параллелепипеда . Окончательно: – объем параллелепипеда, изображенного на рисунке. В случае получим (т.к. ) и . Окончательно получаем: .

Дата добавления: 2014-01-03