Общее уравнение прямой

Решение.

В первом уравнение выразим через , и подставим во второе уравнение:

Þ или

.

В полученное уравнение в декартовой системе координат подставляем , , и выражаем :

;

- уравнение данной прямой в полярной системе координат.

,

Пример 1.4. Составить уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом : в декартовой, в полярной системе координат и параметрически.

Решение. Напомним, что окружность радиуса есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстоянии от некоторой фиксированной точки (центра окружности).

В уравнение окружности в декартовой системе координат вместо и подставляем , , и выражаем :

;

;

- уравнение окружности в полярной системе координат.

В качестве параметра можно взять угол поворота точки при движении по окружности. Тогда

- параметрические уравнения окружности.,

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где - скалярный переменный параметр. Каждому значению соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра конец вектора описывает

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линии – траекторией точки, параметр при этом есть время.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи:

1) зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение;

2) зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

Приведем примеры некоторых кривых, и укажем их уравнения:

2. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Положение прямой на плоскости вполне определено, если известны точка , через которую она проходит, и ненулевой вектор , перпендикулярный к этой прямой.

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку , и перпендикулярную вектору . Вектор называется нормальным вектором прямой.

. (2.1)

Соотношение (2.1) удовлетворяет координатам тех и только тех точек плоскости , которые принадлежат прямой . Формула (2.1) называется уравнением прямой с нормальным вектором и проходящей через точку .

Раскрыв скобки в уравнении (2.1), получим

, (2.2)

где . Уравнение (2.2) называется общим уравнением прямой с нормальным вектором .

Общее уравнение прямой (2.2) называется полным, если все его коэффициенты отличны от нуля. Если же хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным. Рассмотрим возможные случаи неполных уравнений:

1) при уравнение определяет прямую, проходящую через начала координат;

2) при уравнение Û определяет прямую, перпендикулярную к вектору и параллельную оси . Если , то уравнение определяет ось ;

3) при уравнение Û определяет прямую, перпендикулярную к вектору и параллельную оси . Если , то уравнение определяет ось .

Дата добавления: 2017-01-14