Закон Віна

Спектральна густина енергетичної світності абсолютно чорного тіла

Закон Стефана-Больцмана

Модель абсолютно чорного тіла. Закон Кірхгофа

Характеристики теплового випромінювання

Лекція №14 Теплове випромінювання

ü Характеристики теплового випромінювання

Випромінюване джерелом світло несе із собою певну енергію. В залежності від того, звідки черпається енергія, яка поповнює первинний запас, розрізняють різні типи світіння. Існують різноманітні типи випромінювання, в яких до тіла, що світить, підводиться певна форма енергії, котра надалі перетворюється в електромагнітне випромінювання: наприклад, електролюмінісценція, хемілюмінесценція, триболюмінесценція, тощо. Але такі світіння (люмінесценції) не є рівноважним, на відміну від так званого теплового світіння.

Будь-яке тіло, температура якого відмінна від абсолютного нуля, випромінює енергію у вигляді електромагнітних хвиль. Отже, в таких умовах первинний запас енергії тіла поповнюється за рахунок його нагрівання. Таке випромінювання називають тепловим, або чорним, і воно займає особливе місце серед різних видів світіння фізичних тіл. Зауважимо, що теплове випромінювання - це єдиний рівноважний тип випромінювання, яке може перебувати у термодинамічній рівновазі зі своїм джерелом. Досвід показує, що нагріті до різних температур тіла, якщо їх розмістити у замкненій порожнині з ідеально відбиваючими електромагнітні хвилі стінками, з часом обов’язково приходять до стану рівноваги, в якому вони отримують однакові температури. Стан рівноваги встановлюється навіть тоді, коли поміж тілами у порожнині немає контактів і існує повний вакуум, отже, вони можуть обмінюватися енергією лише шляхом випромінювання та поглинання електромагнітної енергії.

Нагріте тіло випромінює енергію на всіх частотах: від нульової до безкінечної (), але, зрозуміло, що неоднаково інтенсивно на кожному частотному інтервалі цього діапазону. Для характеристики інтегральної випромінювальної здатності нагрітих тіл використовують поняття енергетичної світність (). Енергетичною світністю називають енергію, яку випромінює за одиницю часу з одиниці поверхні нагріте тіло в усьому діапазоні частот:

(1)

Індекс „Т” при символі енергетичної світності підкреслює, що змінюється з температурою. Згідно з формулою (1) вимірюється у Дж/с.м² =Вт/м². Отже енергетичну світність можна визначати і як потужність, котру нагріте тіло випромінює з одиниці поверхні. Енергетична світність є інтегральною характеристикою процесу світіння нагрітого тіла, бо вона характеризує випромінювання на всіх частотах, у діапазоні .

Поділимо весь частотний діапазон на рівні інтервали - . В кожному такому частотному інтервалі (від до ) випромінюється деяка частка інтегральної світності (), яка є різною для різних інтервалів. Введемо поняття спектральної густини енергетичної світності, як відношення величини до величини частотного інтервалу:

(2)

Назва “спектральна густина енергетичної світності” є надто довгою. Тому її частіше називають випромінювальною здатністю нагрітого тіла. Ця величина, на відміну від енергетичної світності, є вже диференціальною характеристикою процесу випромінювання, тому що характеризує випромінювану потужність на конкретному інтервалі частот. З (2) випливає, що енергетична світність дійсно є інтегралом:

(3)

ü Модель абсолютно чорного тіла. Закон Кірхгофа.

Розглянемо енергію випромінювання, яка є в рівновазі із своїм джерелом. Зрозуміло, що поглинатися повинно рівно стільки ж енергії, скільки й випромінюється. припустимо, що - інтенсивність потоку випромінювання, що падає на тіло. Тоді нехай - відповідно інтенсивності випромінювання яке поглинуте тілом, проходить крізь тіло, відбивається тілом. Зрозуміло, що

(4)

Або, інакше:

(5)

де залежні від частоти та температури коефіцієнти - мають відповідно назви коефіцієнтів поглинання, пропускання та відбиття.

Припустимо, що для деякого тіла:

(6)

при будь-яких температурах та на будь-яких частотах. З рівняння (5) та (6) негайно випливає, що для такого тіла відсутні пропускання та відбиття – воно поглинає все проміння, яке на нього падає. Таке тіло має назву абсолютно чорного тіла (АЧТ).

Моделлю АЧТ є замкнена порожнина, стінки якої мають сталу температуру Т, цю температуру має й випромінювання, що є всередині. Щоб спостерігати це випромінювання, потрібно зробити невеличкий отвір у стінці. Зовнішнє випромінювання, що падає на отвір, не відбивається, а проходить всередину (повністю поглинається). Оскільки абсолютно поглинаючу поверхню називаємо чорною, то й випромінювання, що виходить через отвір, називають “чорним” (рис.1).

А проте навіть “абсолютно чорне тіло” повинно випромінювати енергію, якщо його температура відмінна від абсолютного нуля. Поміж випромінювальною здатністю тіла та його коефіцієнтом поглинання існує певний зв’язок, який сформулював Кірхгоф у своєму законі. Закон Кірхгофа стверджує, що “відношення випромінювальної здатності довільного тіла до свого коефіцієнту поглинання є однаковою, універсальною функцією частоти та температури для всіх тіл, включно з абсолютно чорним, для якого ”. Математично це означає, що для будь-якого тіла:

(7)

де під ми розуміємо випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла.

Закон Кірхгофа дозволяє вивчати лише випромінювальну здатність для абсолютно чорних тіл, а для довільних, не чорних тіл аналогічну характеристику можна легко знайти з (7), знаючи лише коефіцієнт поглинання такого тіла. Останній значно легше визначити, ніж випромінювальну здатність тіла.

ü Закон Стефана-Больцмана.

Зібрану з усіх частот повну густину енергії можна записати так:

(8)

де підінтегральна функція називається формулою Планка і має вигляд

(9)

Розмірність функції (9) – це спектральна густина випромінювання АЧТ.

Об’єднуючи рівняння (8) і (9), маємо

(10)

При обчисленні інтегралу (10) використано заміни які дозволяють записати інтеграл (10) у вигляді , де – є табличний інтеграл.

Формула (10) дає повну енергію поля на одиницю об’єму.

Знайдемо енергію, що випромінюється за 1 с з 1 м² поверхні АЧТ – енергетичну світність. Вона пов’язана з густиною енергії простим співвідношенням. У випадку плоскої хвилі (тобто коли енергія переноситься в одному напрямі) густина потоку енергії можна записати як добуток густини енергії і швидкості хвилі: . Через кожну точку всередині порожнини (рис.1) проходить нескінченна кількість хвиль, які рівномірно розподілені у межах тілесного кута 4p. Потік енергії також рівномірно розподілений у цьому тілесному куті. Отже, у межах тілесного кута буде розповсюджуватися потік енергії, густина якого дорівнюватиме:

(11)

Візьмемо на поверхні порожнини елемент площини (рис.2). Цей елемент посилає у межах тілесного кута у напрямку, що утворює з нормаллю кут потік енергії

(12)

По всіх напрямках у межах тілесного кута 2p елемент посилає потік енергії

(13)

Разом з тим потік дорівнює потоку, який випромінюють абсолютно чорні стінки тобто

(14)

де – стала Стефана-Больцмана.

Друга частина формули (14) відображає математично закон Стефана-Больцмана: енергетична світність абсолютно чорного тіла прямо пропорційна його абсолютній температурі в четвертому ступеню.

ü Спектральна густина енергетичної світності АЧТ.

Міркування аналогічні вище розглянутим дозволяють легко отримати спектральну густину енергетичної світності АЧТ за шкалою частот:

(15)

– характеризує поверхневий спектральний розподіл енергії випромінювання АЧТ.

Щоб отримати спектральну густину енергетичної світності АЧТ за шкалою довжин хвиль використаємо наступне співвідношення:

(16)

Крім того пригадаємо зв’язок між частотою та довжиною хвилі

(17)

Знак “-” у формулі (17) свідчить про те, що коли одна з величин (l або w) зростає, інша – навпаки зменшується. Для подальших розрахунків знак “-” можна не враховувати. Отже, з урахуванням (17) рівняння (16) перепишеться у вигляді:

(18)

В останній вираз (18) підставляємо явний вигляд функції (15), записуючи при цьому частоту через довжину хвилі. В результаті для спектральної густини енергетичної світності АЧТ за шкалою довжин хвиль маємо:

(19)

– характеризує об’ємний спектральний розподіл потужності випромінювання АЧТ.

Вигляд функцій розподілу спектральної густини енергетичної світності АЧТ подано на рис.3. Якщо температура зростає, то крива розподілу стає більш гострою, а пік максимуму зсувається в область більших частот (або менших довжин хвиль.

Слід зауважити, що формули (15, 19) так само як і (9) звичайно називають формулами Планка.

ü Закон Віна.

Знайдемо максимум функції (19) при певній температурі Т. Для цього візьмемо похідну

(20)

При цьому використано добре відомі формули: ; ; .

Привівши рівняння (20) до спільного знаменника та прирівнюючи його до нуля, отримаємо

(21)

Зробимо заміну . Тоді остаточно рівняння (21) можна переписати у наступному компактному вигляді

(22)

Графічний розв’язок (рис.4) рівняння (22) дає такі корені: . Перший корінь є тривіальний і розглядати треба другий. Отже маємо , де – довжина хвилі, на яку припадає максимум функції (19). Остаточно можемо записати

(23)

де – стала Віна.

Формула (23) – закон Віна: довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини енергетичної світності АЧТ обернено пропорційна абсолютній температурі.

Якщо провести аналогічні операції для функції , то можна отримати рівняння

(24)

тут . Корені цього рівняння: . Тоді маємо інший запис закону Віна

(25)

де – також має назву стала Віна.

Проведемо розрахунки для Сонця (Т = 5800 К) довжини хвилі і частоти, на які припадає максимум відповідної функції спектральної густини енергетичної світності.

Для шкали довжин хвиль маємо:

(26)

Це область видимого спектру.

Для шкали частот маємо:

(27)

Це область інфрачервоного спектру.

(28)

(29)

Аналіз даних (26-29) дозволяє зробити важливий висновок про те, що максимуми функцій спектральних густин енергетичної світності (15,19) за різними шкалами не співпадають. Максимум функції Планка за шкалою довжин хвиль зсунуто у бік менших довжин хвиль (більших частот) у порівнянні з функцією Планка за шкалою частот (рис.5). Спектральна крива випромінювання залежить від вибору спектральної шкали. По суті у якості спектральної координати можливо обрати будь-яку величину, яка однозначно пов’язана з довжиною хвилі. Слід підкреслити, що вибором спектральної шкали максимум спектральної кривої розподілу можна привести у будь-яку область спектру.

Цей висновок може сприйматися як парадокс, але нічого незвичайного в ньому нема. Спектральна густина енергетичної світності є лише допоміжна величина, на яку треба множити відрізок на спектральній шкалі, щоб отримати потік енергії. Положення максимуму спектральної кривої випромінювання само по себе фізичного значення не має на відміну від спектральної кривої поглинання або спектральної кривої чутливості приймача.

Рекомендована література:

1. Бушок Г.Ф., Венгер Є.Ф. Курс фізики, т.2. – К.: Либідь, 2001.

2. Кучерук І.М., Дущенко В.П., Загальна фізика. Оптика. Квантова фізики. – К.: Вищашкола, 1991.

3. Савельев И.В. Курс общей физики, Т. 3, - М.: Наука, 1989.

4. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики, Т. 3, - М.: Наука, 1987.

5. Элементарный учебник физики, т.3, Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика. – М.: Наука, 1985.

6. Трофимова Т.И. Оптика и атомная физика. – М.: Высш. шк., 1999.

7. Ландсберг Г.С. Загальний курс фізики, т.3, Оптика. – К: Рад. школа,1961.

Дата добавления: 2015-07-13