Доказать некоторые полезные свойства

1.1. Квадратный трехчлен на множестве действительных чисел имеет наименьшее значение, если и наибольшее значение, если .

1.2. Если квадратный трехчлен имеет набольшее значение, то не существует наименьшего, и наоборот.

1.3. Среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит их среднего геометрического: или , причем равенство справедливо только при условии,

что .

1.4. Если сумма положительных чисел есть постоянное число, то произведение этих чисел достигает наибольшего значения, когда все эти числа равны ().

1.5. Если произведение положительных чисел есть постоянное число, то сумма этих чисел достигает наименьшего значения, когда все эти числа равны ().

1.6. Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке и дифференцируема внутри него, то наибольшее и наименьшее значение функции существуют и находятся либо в критических точках (в точках, где ), либо на концах заданного промежутка (в точках ).

1.7. Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , дифференцируема внутри него и внутри промежутка имеет только одну критическую точку, то либо в этой точке достигается наибольшее значение функции, тогда наименьшее значение достигается на одном из концов заданного промежутка, либо наоборот (наименьшее значение достигается внутри промежутка, а наибольшее на конце).

1.8. Если x₁, x₂,..., x_n - положительные числа, то справедливо неравенство:

.

1.9. Если сумма положительных переменных x₁+x₂+...+x_n = const, а m₁, m₂,..., m_n - натуральные числа, то произведение будет наибольшим, когда .

Дата добавления: 2015-07-13