Аналіз розмірностей. - теорема

Всі фізичні величини мають розмірність. Приведемо таблицю розмірностей деяких величин.

Кожне фізичне явище характеризується рядом величин. У загальному випадку явище може бути математично сформульоване таким чином

(2.47)

де х_n – величина, що характеризує явище.

Одним із методів аналізу розмірностей є - теорема, яка встановлює зв^,язок між функцією, вираженою через розмірні величини і функцією в безрозмірній формі. Під безрозмірними величинами треба розуміти комплекси розмірних величин, складених так, що вони не мають розмірності ( та ін.).

Таблиця 2.1 - Розмірність фізичних величин

№№	Величина	Розмірність в системі SI	Основні розмірності Mlτt
	Маса	кг	M
	Довжина	м	L
	Час	с
	Температура	К	T
	Густина	кг/м^3	мl^-3
	Сила		мlτ^-2
	Тиск		мl^-1τ^-2
	Швидкість	м/с	lτ^-1
	Прискорення	м/с^2	lτ^-2
	Коефіцієнт динамічної в^,язкості		мl^-1τ^-1
	Коефіцієнт кінематичної в^,язкості	м^2/с	l^2τ^-1
	Енергія	Н ּ м=кг ּ м^2/с^2	мl^2τ^-2
	Питома масова теплоємкість	кДж/кгК=	l^2τ^-2t^-1
	Потужність	Н ּ м/с =	мl^2τ^-3
	Питома ентальпія	кДж/кг=	l^2τ^-2
	Коефіцієнт теплопровідності	кДж/м ּ К=кгм/с^3К	мlτ^-3t^-1
	Коефіцієнт температуропровідності	м^2/с	l^2τ^-1

Згідно з - теоремою (або теоремою Бекінгема) із розмірних величин можна скласти ряд безрозмірних величин, що також характеризують явище. При цьому, якщо кількість розмірних величин n, а число основних розмірностей k, то кількість безрозмірних комплксів (чи критеріїв подібності) становитиме m

. (2.48)

Якщо позначити безрозмірну величину , то маємо

(2.49)

Встановимо, як можна визначити критерії подібності. Припустимо, що явище характеризується швидкістю, діаметром та кінематичною в^,язкістю, тобто

^. (2.50)

Відповідно, маємо

Запишемо степеневу функцію, яка має дати безрозмірний вираз

Відповідно, отримаємо добуток всіх розмірностей

(2.51)

Звідси отримаємо систему двох рівнянь

З цих рівнянь знайдемо необхідні співвідношення

Тоді

. (2.52)

Таким чином, розглянуте явище визначається трьома розмірними величинами . В той же час, при використанні безрозмірних величин достатньо одного критерія Рейнольдса Re.

Якщо розглядаються два потоки, то вони подібні, якщо Але кожна величина повинна мати свій масштабний коефіцієнт, тобто

Температурне поле нерухомого тіла підкоряється диференційному рівнянню теплопровідності. Для одновимірного поля маємо

(2.53)

де a – коефіцієнт температуропровідності;

х – координата

R –характерний розмір об^,єкта;

- час.

Треба також врахувати початкову температуру .

Маємо таку функцію

(2.54)

Відповідні розмірності

,

а також

Будемо шукати безрозмірну функцію температури у такому вигляді

Таким чином, отримаємо наступні рівняння

Звідси

або

(2.55)

Таким чином, маємо критеріальне рівняння

де - безрозмірна (відносна) теммпература;

- критерій Фурье;

- відносна координата.

Дата добавления: 2014-01-04