ВВедение

Механика как наука, в современном понимании, возникла раньше других разделов физики.

Вся современная физика развилась, в основном, на базе механики, начиная с 17 века. Принципы механики впервые были сформулированы Исааком Ньютоном (1643-1727) в его основном сочинении "Математические начала натуральной философии", первое издание которого вышло в 1687 году. Многие выдающиеся ученые, предшественники Ньютона,- Архимед (ок. 287-212 до н.э.), Иоганн Кеплер (1571-1630), Галилео Галилей (1564-1642), Христиан Гюйгенс (1629-1695) и др., решили немало частных вопросов статики и отчасти динамики. Однако именно Ньютон был первым, кто сформулировал полную систему принципов механики и на их основе создал стройное здание этой науки.

Громадные достижения механики Ньютона, а также его непререкаемый научный авторитет почти на 200 лет отвлекли внимание ученых от недостатков его системы механики. Серьезное критическое отношение к механике Ньютона возникло лишь во второй половине XIX века.

После Ньютона последовало быстрое развитие механики, но до начала XX века оно шло в основном в направлении совершенствования математических методов механики и применения ее законов к все новым и новым областям знания.

Совершенствование механики не затрагивало содержание основных представлений механики Ньютона. Ничего принципиально нового в физические основы механики внесено не было вплоть до XX века, когда положение существенно изменилось.

Положение в корне изменилось с открытием электрических и магнитных явлений, особенно с открытием электромагнитных волн. И их, конечно, пытались объяснить механистически, как волны в некоторой пронизывающей все пространство среде, называемой эфиром (как волны на поверхности воды или звук в воздухе). Однако эти попытки не увенчались успехом.

Второе ограничение классической механики заключается в ее неприменимости к описанию явлений микромира, то есть к движениям тел малой массы в малых участках пространства. Более общей наукой, описывающей такие движения, является квантовая механика.

Третьим ограничение применимости классической механики следует отнести невозможность ее применения в системе с большим количеством частиц.

Объектами изучения классической механики являются медленные движения со скоростью макроскопических тел.

1.2 Механическое движение. Принципы относительности движения.

Определение: Механическим движением называется изменение положения тела по отношению к другим телам.

Если размеры тела при описании его движения несущественны, то его движение можно рассматривать как движение частицы в пространстве.

Это самая простая модель для описания реального тела. Так как в дальнейшем будут рассматриваться движения тела обладающего массой, но в пренебрежении ее размерами, внутренней структуры и формы, то введем в рассмотрение единый термин частица, понимая под ним материальную точку.

Как видно из определения, механическое движение относительно. Для описания движения нам необходима:

система отсчета, которая включает в себя тело отсчета, жестко связанную с ним систему координат и набор синхронизированных между собой часов.

(Слайд из лекции о СО)

1.3 Кинематика материальной точки

Кинематика - это раздел механики, где изучаются способы описания движений независимо от причин, обусловливающих эти движения, то есть, в основном, геометрические свойства движения.

1.3.1 Способы описания движения

Существует три способа описания движения частицы: векторный (геометрический), координатный и естественный. Рассмотрим их последовательно, учитывая, то аналогичное построение описания движения частицы будет применимо в релятивистском случае.

Естественный способ указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты: s=f(t) – закон движения точки. При прямолинейном движении: х=f(t).

Этот способ применяется, когда заранее известна траектория Например рельсы определяют траекторию трамвая, поэтому для него хорош естественный способ.

Векторный способ требует введения понятия "радиус-вектор".

Радиусом-вектором (r) называется направленный отрезок, соединяющий начало координат и точку с произвольными координатами. Положение точки в пространстве в заданной системе отсчета будет полностью определено, если известен r (его положение относительно осей координат и его размеры) (рис. 1).

.

(1)

В этом способе положение интересующей нас частицы А задают радиусом-вектором , проведенным из некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета в точку А.

При движении частицы А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по модулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор зависит от времени t.

(слайд 10)

Следовательно, для того чтобы определить местоположение точки через какой-то промежуток времени t₁, необходимо знать начальный радиус-вектор и радиус –вектор определяющий конечное положение материальной точки за промежуток времени t₁.

Эта же задача может быть решена, если известны начальные координаты и их приращение за промежуток времени t₁

Геометрическое место точек, где тело побывало за время своего движения, называется траекторией частицы А.

При векторном способе описания траекторией будет положение концов радиус-вектора во все моменты времени.

Вектор перемещения частицы А представляет собой приращение радиус за время t₁: .

Отношение называют средним вектором скорости <> за время t₁. .

Слайд (26)

Вектор <> совпадает по направлению с .

Определим теперь вектор мгновенной скорости частицы как предел отношения

(2)

Это значит, что вектор мгновенной скорости частицы в данный момент времени равен производной от радиус-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения частицы А (как и вектор ). Модуль вектора равен

(3)

Из формул (1) и (2) следует, что вектор скорости в декартовой системе координат может быть записан:

(4)

Движение частицы характеризуется также ускорением. Вектор ускорения определяет скорость изменения вектора скорости со временем:

(5)

т. е. равен производной от вектора скорости по времени. Направление вектора совпадает с направлением вектора - приращением вектора за время dt.

Вектор ускорения в декартовой системе координат может быть записан:

(6).

Координатный способ – это способ описания движения при котором в любой момент времени для описания движения тела необходимо указывать его координаты т.е.

Прикладная часть (примеры решения задач)

Рассмотрим на примере движение материальной точки.

Пусть, например, радиус-вектор частицы зависит от времени t по закону

,

где и - постоянные векторы. Найдем скорость и ускорение частицы:

Модуль вектора скорости

.

Таким образом, зная зависимость , можно найти скорость и ускорение частицы в каждый момент времени.

Возникает и обратная задача: можно ли найти и , зная зависимость от времени ускорения ?

Оказывается, для получения однозначного решения этой задачи одной зависимости недостаточно, так как необходимо еще знать начальные условия, а именно - скорость и радиус-вектор частицы в некоторый начальный момент .

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим простой случай, когда при движении ускорение частицы остается постоянным.

Определим сначала скорость частицы . Согласно (5), за интервал времени dt малое приращение скорости . Интегрируя это выражение по времени от t = 0 до t, определим конечное приращение вектора скорости за это время:

.

Но величина - это еще не искомая скорость . Для нахождения , необходимо знать скорость в начальный момент времени . Тогда , или

Аналогично вычисляется и радиус-вектор частицы.

Рассмотрим произвольное движение материальной точки.

Пусть точка движется по заранее известной траектории (естественный способ описания движения).

Рис.2

Рассмотрим как в этом способе описания определяется скорость частицы. Введем единичный вектор , связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону увеличения дуговой координаты l (рис. 2.). Ясно, что - переменный вектор: его направление зависит от l, хотя длина этого вектора остается неизменной. Вектор скорости частицы А направлен по касательной к траектории, поэтому его можно согласно (4) выразить так:

(7)

где - (8)

проекция вектора на направление вектора , причем - величина алгебраическая.

Кроме того, ясно, что

Найдем ускорение частицы .

Согласно (7) и (8) получаем:

(9)

Преобразуем последнее слагаемое этого выражения используя прием неявного дифференцирования:

(10)

Рассмотрим приращение вектора на участке d l. Для этого выделим на траектории движения l, элемент d l и нарисуем его более крупно (рис. 3).

рис.3

Из схемы движения видно, что при стремлении точки 2 к точке 1 отрезок траектории между ними можно представить в виде дуги окружности с центром в некоторой точке О.

Ее называют центром кривизны траектории в данной точке, а радиус соответствующей окружности - радиусом кривизны траектории в той же точке.

Как видно из рис. 3, угол

. (11)

Если ввести единичный вектор нормали к траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, то последнее равенство запишется в векторном виде:

(12)

Подставляя (12) в (10) получаем для вектора ускорения

(13)

Здесь первое слагаемое называют тангенциальным ускорением , а второе - нормальным (центростремительным) .

Модуль полного ускорения в вычисляется по теореме Пифагора (рис.4):

Рис.4

(14)

Дата добавления: 2014-01-04