Основные свойства определенного интеграла

Если коротко говорить, то основные свойства в этом случае, в основном, совпадают с основными свойствами неопределенного интеграла. Перечислим их:

1.

2. . Интеграл суммы равен сумме интегралов.

3. .

4. если a<c<b, то . Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла.

5. Теорема о среднем. Если непрерывна на отрезке , то существует такая точка , что .

Доказательство:

По формуле Ньютона-Лейбница имеем , где . Применяя к разности теорему Лагранжа, получим , но , т.е. ч.т.д.

Число называют средним значением функции на отрезке .

6. Если функция сохраняет знак на отрезке , то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так если на , то .

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке можно интегрировать. Так если при , то . Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции. , a <b.

9. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е. .

Доказательство:

По формуле Ньютона-Лейбница . Следовательно, . Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Дата добавления: 2013-12-12