Решение. 1. Определение центра тяжести сечения

Рис.1

Пример 10.

Рис.3

Рис.2

1. Определение центра тяжести сечения. Выбираем в качестве вспомогательных осей – оси уголка х ₃, у ₃. Определяем относительно этих осей координаты центров тяжести сечений:

- для двутавра: х ₁ = b ₁/2 – х ₀ = 20/2 – 1,42 = 8,58 см;

у ₁ = у ₀ + h ₂/2+ h ₁/2 = 3,23 + 2/2+11/2 = 9,73 см;

- для пластины: х ₂ = b ₂/2 – х ₀ = 24/2– 1,42 = 10,58 см;

у ₂ = у ₀ + h ₂/2 = 3,23 +2/2 = 4,23 см;

- для уголка: х ₃ = 0; у ₃ = 0.

Вычисляем координаты центра тяжести составного сечения по формулам:

Откладываем от вспомогательных осей х ₃, у ₃ координаты центра тяжести х _С, у _С и через полученную точку С проводим центральные оси Х _С и Y _С параллельно вспомогательным осям.

2. Вычисление осевых (, ) и центробежного () моментов инерции сечения относительно центральных осей (X_С, Y_С). Применим формулы для вычисления моментов инерции составного сечения при параллельном переносе осей:

= (115 + 4,23²×26,8) + (16 + (-1,27)²×48) + (98,3 + (-5,50)²×9,58) =594 + 93,4 + 388 = 1075 см²,

где n ₁, n ₂ и n ₃ – расстояния от центральной оси Х_С до осей х ₁, х ₂ и х ₃, соответственно. Т.е. имеем:

n ₁ = у ₁ – у_С = 9,73 – 5,50 = 4,23 см;

n ₂ = -(у_С – у ₂) = -(5,50 – 4,23) = -1,27 см;

n ₃ = - у_С = -5,50 см.

= (1840 + (-0,16)²×26,8) + (2304 + 2,04²×48) + (30,6 + (-8,74)²×9,58) = 1841 + 2504 + 762 = 5107 см⁴,

где m ₁, m ₂ и m ₃ – расстояние от центральной оси Y_С до осей у ₁, у ₂ и у ₃, соответственно. Т.е. имеем:

m ₁ = -(х_С – х ₁) = -(8,74 – 8,58) = -0,16 см;

m ₂ = х ₂ – х_С = 10,58 – 8,74 = 2,04 см;

m ₃ = - х_С = -8,74 см.

=(0 + 4,23×(-0,16)×26,8) + (0 + (-1,27)×2,04×48) + (31,5 + (-5,50)×(-8,74)×9,58) = -18,1 – 124,3 + 400 = 318 см⁴.

При вычислении центробежного момента инерции следует учесть, что для симметричных сечений (двутавр, швеллер, пластина) центробежные моменты инерции относительно их собственных центральных осей равны нулю, т.к. оси симметрии являются главными осями. Тогда , .

Для неравнобокого уголка ось U ₃ и ось V ₃, проведенная нами через центр тяжести О ₃ перпендикулярно первой оси, являются главными центральными осями уголка (см. рис.2). Следовательно, центробежный момент инерции уголка относительно этих осей равен нулю.

Оси х ₃, у ₃ не являются главными центральными осями. Поэтому . Для его вычисления воспользуемся известной формулой:

При этом для вычисления неизвестного главного момента инерции воспользуемся зависимостью:

Для определения угла a из сортамента имеем . Тогда .

Угол в данном случае положителен, т.к. поворот главных центральных осей V ₃, U ₃ до совмещения их с осями х ₃, у ₃ выполнен против часовой стрелки (см. рис.2).

Для определения знака центробежного момента инерции для равнобоких и неравнобоких уголков в зависимости от их положения удобно пользоваться также данными рис.3.

Рис.2.3.

3. Определение положения главных центральных осей инерции.

Определяем угол по формуле:

Рисунок 3

Откладываем от оси X_С угол против часовой стрелки и проводим взаимно перпендикулярно главные оси для составного сечения U и V, соответственно.

4. Вычисление главных центральных моментов инерции. Для их вычисления используем формулу:

J _max = 5104 см⁴; J _min = 1050 см⁴.

Т.к. , то , а .

Для проверки правильности расчетов воспользуемся формулой для вычисления центробежного момента инерции. Вычислим его относительно главных центральных осей U и V (J_UV = 0):

где ;

Ошибка в инженерных расчетах не должна превышать . Проверяем расчеты по формуле:

Для составного поперечного сечения стержня, состоящего из равнобокого уголка № 7 с толщиной стенки 8 мм, швеллера №22 и полосы 180х20 мм (см. рис.1), требуется найти положение центра тяжести сечения, направление главных центральных осей инерции u и v, а также вычислить главные центральные моменты инерции I _max и I _min.

1. Определяем координаты центра тяжести поперечного сечения.

Размеры и геометрические характеристики уголка и швеллера устанавливаем по сортаментам. Вычерчиваем сечение в масштабе (см. рис. 1). Выбираем оси сравненияx и y, располагая их по контуру швеллера. Именно в этих осях мы и будем определять положение центра тяжести всего сечения. Для каждого элемента сечения (уголка, швеллера и полосы) проводим собственные центральные оси (), параллельные выбранным осям сравнения x и y.

Координаты центра тяжести всего поперечного сечения (точка С), состоящего из трех элементов (уголка – 1, швеллера – 2 и полосы – 3), вычисляются по формулам:

где и – статические моменты соответствующего элемента относительно осей сравнения; – площадь элемента; и – координаты центра тяжести элемента в осях сравнения. Вычисления производим в табличной форме (таблица 1).

Таблица 1. Определение координат центра тяжести поперечного сечения

Номер элемента	Наименование элемента	Площадь элемента , см^2	Координаты центра тяжести элемента	Статические моменты элемента относительно осей сравнения и
, см	, см	, см^3	, см^3
	Уголок	10,67	-2,02	17,02	-21,55	181,60
	Швеллер	26,70	2,21	11,00	59,01	293,70
	Полоса	36,00	9,00	-1,00	324,00	-36,00
	ВСЕ СЕЧЕНИЕ	73,37			361,46	439,30

Координаты центра тяжести поперечного сечения (точка С) в осях сравнения x, y:

см; см.

По найденным значениям и отмечаем на чертеже центр тяжести всего сечения точку С (см. рисунок 1) и проводим центральные оси и .

Заметим, что центр тяжести всей фигуры должен располагаться внутри треугольника, вершинами которого являются центры тяжести элементов поперечного сечения.

2. Вычисляем моменты инерции всего поперечного сечения относительно центральных осей и .

Осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей определяются по следующим формулам:

Значения осевых моментов инерции уголка и швеллера относительно собственных центральных осей и определяем по сортаменту. Для полосы осевые моменты инерции соответственно равны:

см⁴; см⁴.

Центробежные моменты инерции швеллера и полосы равны нулю, поскольку их собственные центральные оси являются осями симметрии.

Центробежный момент инерции уголка относительно собственных центральных осей и вычисляется по формуле

,

где и – максимальный и минимальный главные моменты инерции уголка соответственно. По сортаменту (см. прил. 1) находим, что см⁴, а см⁴.

Центробежный момент инерции уголка не равен нулю, поскольку оси и не являются для него главными центральными осями инерции (главные центральные оси для равнобокого уголка повернуты относительно осей и на угол 45⁰).

Знак центробежного момента инерции уголка (как, впрочем, и для любой другой фигуры) зависит от направления координатных осей. Он легко определяется следующим образом. Согласно определению, центробежный момент инерции фигуры равен интегралу, в котором элементарная площадка умножается на произведение расстояний от этой площадки до координатных осей. Мысленно разделим уголок на три площади, расположенные, в нашем случае, в первом, третьем и четвертом квадрантах. Эти площади, в свою очередь, разобьем на элементарные площадки. Видно, что для элементарных площадок, расположенных в первом и третьем квадрантах, расстояния от элементарных площадок до координатных осей имеют одинаковый знак. Поэтому при интегрировании по площади, расположенной в этих квадрантах, мы получим знак «плюс». В четвертом квадранте расстояния от площадок до координатных осей имеют разные знаки, что при интегрировании даст знак «минус». Очевидно, что, суммируя полученные результаты, мы, в итоге, получим положительное значение центробежного момента инерции уголка. Следовательно,

см⁴.

Теперь определяем координаты центров тяжести отдельных элементов C _i в центральных осях и :

для уголка

см;

см;

для швеллера

см;

см;

для полосы

см;

см.

Дальнейшие вычисления моментов инерции всего поперечного сечения относительно центральных осей и производим в табличной форме (таблица 2).

Таблица 2. Определение моментов инерции сечения относительно центральных осей и

Номер элемента	Наименование элемента	Площадь элемента , см^2	Моменты инерции относительно собственных центральных осей и	Координаты центра тяжести в осях и
, см^4	, см^4	, см^4	, см	, см
	Уголок	10,67	48,16	48,16	28,19	-6,95	11,03
	Швеллер	26,70	2110,00	151,00		-2,72	5,01
	Полоса	36,00	12,00	972,00		4,07	-6,99
	ВСЕ СЕЧЕНИЕ	73,37

Продолжение таблицы 2

Наименование элемента	"Переносные" моменты инерции, см^4	Моменты инерции относительно центральных осей и , см^4
Уголок	515,39	1298,12	-817,95	1346,28	563,55	-789,76
Швеллер	197,54	670,17	-363,85	2780,17	348,54	-363,85
Полоса	596,34	1758,96	-1024,17	1770,96	1568,34	-1024,17
ВСЕ СЕЧЕНИЕ				5897,41	2480,43	-2177,78

После округления вычисленных значений моментов инерции до трех значащих цифр, окончательно, получим

см⁴; см⁴; см⁴.

3. Определяем положение главных центральных осей инерции u и v.

Угол наклона главных центральных осей u и v к центральным осям и соответственно определяем из следующей формулы:

_.

Отсюда находим, что и .

Откладываем положительное значение угла от оси против хода часовой стрелки и проводим главные центральные оси u и v (см. рисунок 1).

Ось, относительно которой момент инерции максимален, составляет меньший угол с той из центральных осей или , относительно которой осевой момент больше. Поскольку см⁴ больше, чем см⁴, ось u является осьюотносительно которой момент инерции сечения максимален, то есть ось u – ось max. Соответственно, ось v является осью min.

4. Вычисляем значения главных центральных моментов инерции и для заданного поперечного сечения.

Значения главных центральных моментов инерции всей фигуры определяются по формуле

.

Тогда

см⁴;

см⁴; см⁴.

Контролем правильности последних вычисленийможет служитьследующее условие:

.

Имеем

, .

Дата добавления: 2013-12-13