Рассмотрим интеграл Фурье

. (31.8)

Так как интеграл является чётной функцией аргумента , и в смысле главного значения равенство (31.8.) можно записать в виде

. (31.9.)

Аналогично, интеграл является нечётной функцией от , и в смысле главного значения

. (31.10.)

Вычитая из равенства (31.9.) равенство (31.10.), умноженное на с учётом формул Эйлера, получим:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31.1.

Формула

. (31.11.)

Отметим, что в точке разрыва первого рода интеграл Фурье в комплексной форме сходится

к значению .

Перепишем интеграл Фурье в виде

.

Обозначим

, (31.12.)

тогда

. (31.13.)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31.2.

Функция называется прямым преобразованием Фурье функции , а функция

обратным преобразованием Фурье.

Замечание. Иногда формулы прямого и обратного преобразования Фурье используются в их симметричной форме:

.

Понятие спектра

Каждую функцию можно представить рядом Фурье (если она периодическая) или интегралом Фурье (если она непериодическая).

- периодическая функция

, , .

- непериодическая функция

, .

Если - периодическая функция, то C_n, называется её комплексным спектром. Очевидно, что периодическая функция обладает дискретным спектром, т.е. его составляющие существуют только в точках 0, , ,… Величину называют угловой частотой.

На практике часто различаем - амплитудный спектр и - фазовый спектр.

Если f – непериодическая функция, то называется ей функцией спектральной плотности или просто спектром. И в этом случае различаем - амплитудный спектр, а - фазовый спектр.

Сравнив C_n и F, можем установить связь между спектрами периодической и непериодической функций:

, где .

Составляющие спектра C_n периодической функции пропорциональны соответствующим значениям спектральной функции в точках (в которых С_nтолько и существует).

Из этого равенства становится ясным, почему называется функцией спектральной плотности – её размерность .

Далее найдём спектры некоторых наиболее широко распространённых непериодических функций. Зная их, нетрудно определить и спектры соответствующих периодических функций.

Фурье- преобразование некоторых функций

I.

Амплитудный спектр . Фазовый спектр . Отметим, что преобразование Фурье для этой функции существует только при . Если же , тоне является абсолютно интегрируемой.

2. .

.

Очевидно, что

; а .

3.

4.

.

Отсюда следует, что

, а

5.

Очевидно, что эта функция не является абсолютно интегрируемой. Поэтому к ней нельзя применить формулу прямого преобразования Фурье. Вспомним спектр функции

, .

Переходя к пределу при , получим

, а

6. Спектр дельта-функции. Напомним, что дельта-функцией (или функцией Дирака нулевого порядка) называется функция

для которой

.

Эту функцию можно определить как предел функции

. Вообще дельта-функцию можно определить как предельную функцию последовательности самых различных функций. Соответствующим образом получим и выражение для прямого преобразования Фурье дельта-функции.

Так, например, спектр функции

нам известен: .

При , и .

Видим, что функция спектральной плотности дельта - функции является постоянной на всей бесконечной частотной оси.

Эта функция тоже не является абсолютно интегрируемой.

Представим эту функцию следующим образом:

.

Тогда

7. и ,.

Так как и эти функции не являются абсолютно интегрируемыми, то и к ним нельзя применить формулу прямого преобразования Фурье. Поэтому сначала ограничим эти функции таким образом:

Применив к функциям и , формулу прямого преобразования Фурье, а потом, перейдя к пределу при , получаем

Аналогично,

.

Спектры этих функций состоят из двух дельта-функций (на частотной оси!) при

и .

Легко можем показать, что функции спектральной плотности функций

и ,

т.е. функций, тождественно равных нулю, при , определяются выражениями:

Спектры этих функций являются уже бесконечно широкими.

Понятие энергетического спектра

В электронике часто удобно описать сигнал его нормированной энергией Е. Она определяется как энергия, которую выделяет напряжение (или ток ) на сопротивлении в 1ом. Эта энергия выражается формулой

.

Между тем, для периодических сигналов этот интеграл расходится и таким образом определение понятия энергии теряет смысл.

В этом случае можем ввести понятие средней за определённый промежуток энергии, т.е средней мощности.

Пусть . Тогда можем записать

.

Изменив порядок интегрирования, получаем

Если f(x) – вещественная функция, то и

,

где угловая чистота.

Мы получили известное равенство Парсеваля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31.3.

Функция называется плотностью энергетического спектра функции f(x).

Замечание. Иногда функция плотности энергетического спектра определяется другим образом, например, .

В этом выражении суммируется энергия положительных и отрицательных частот. Часто определяется выражением , которое определяет энергию в полосе частот 1рад/сек.

ПРИМЕР 31.2. Проверить, действительно ли равенство Парсеваля для функции

.

∆ ,

. Ранее мы установили, что ,

Тогда

.

Таким образом, мы получили, что .

Следует отметить, что, хотя энергетический спектр и является важной характеристикой сигнала, всё же он менее важен, чем функция спектральной плотности , так как по известному нельзя восстановить саму функцию из-за отсутствия информации о фазовых отношениях.

Приложения рядов Фурье и интеграла Фурье

Гармонический анализ широко используется на практике. Наибольшее применение он нашел в электронике.

При анализе линейной цепи частотным методом входной сигнал с помощью ряда или интеграла Фурье разлагается на элементарные составляющие (анализ), после этого определяются соответствующие гармонические составляющие на выходе цепи. Затем эти составляющие суммируются и тем самым определяется выходной сигнал (синтез).

Если на вход линейной цепи поступает периодический сигнал

,

где , - амплитуда n-ой гармоники входного сигнала и Кявляется передаточной функцией цепи, то амплитуда n-ой гармоники на выходе равна

.

Выходной сигнал определяется выражением

.

Если на вход линейной цепи поступает непериодический сигнал , функция спектральной плоскости которого определяется прямым преобразованием Фурье, то функция спектральной плоскости выходного сигнала определяется выражением:

По известной функции определяем выходной сигнал , используя обратное преобразование Фурье:

.

Частотный метод удобен тогда, когда надо найти только функцию спектральной плотности выходного сигнала.

Легко можем установить условия, при которых сигнал проходит через линейную цепь без искажений.

Условимся считать, что сигнал не искажается, если его спектры на выходе и входе совпадают, т. е

Дата добавления: 2014-01-04