П.1.Дифференциальные уравнения первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 33

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

(33.1)

Если такое соотношение преобразовать к виду:

(33.2)

Дифференциальное уравнение (33.2) первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

(33.3.)

Формула (33.3) - дифференциальная форма уравнения первого порядка.

п.2.Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка

Рисунок 33.1

Как уже говорилось выше (рис.33.1), линия S, которая задается функцией, являющейся каким-либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения

Производная является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой.

В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.

Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.

Дата добавления: 2014-01-04