Лекція 13, 14. Раціональні числа

План:

1. Поняття дробу.

2. Поняття додатного раціонального числа.

3. Дії над раціональними числами.

4. Нескінчені періодичні десяткові дроби.

1. Поняття дробу.

Зв'язок між множинами чисел можна уявити наглядно за допомогою кругів Ейлера. Нехай заданий відрізок і одиничний відрізок , причому відрізок буде сумою відрізків . Якщо відрізок складається з відрізків , то його довжина представлена в виді . Символ називають дробом, де , - натуральні числа. Дроби, що виражають довжину одного відрізку при одиниці довжини , називають рівними. Наприклад, .

Признак рівності дробів: для того, щоб дроби і були рівні, необхідно і достатньо, щоб .

Властивість: якщо чисельник і знаменник дробу помножити на одне число, то отримаємо дріб, рівний даному. На цій властивості основане скорочення дробу і зведення дробів до спільного знаменника. Скорочення дробу - це заміна даного дробу іншим, що дорівнює даному, але з меншим чисельником і знаменником. Дріб - дріб, що не скорочується. Результатом скорочення має бути дріб, що не скорочується.

Зведення дробів до спільного знаменника – це заміна дробів рівними їм, які мають спільний знаменник.

2. Поняття додатного раціонального числа.

Додатне раціональне число – це множина рівних дробів, а кожний дріб, що належить цій множині, є запис цього числа. Наприклад, .

Для будь-якого додатного раціонального числа існує єдиний дріб, що не скорочується і являється записом цього числа.

Множина додатних раціональних чисел позначається , в яку входить вся множина натуральних чисел . Числа, які доповнюють множину , називається дробовими числами.

3. Дії над додатними раціональними числами.

1) Сумою дробів і є число, яке знаходять за правилом: .

Сума дробів з різними знаменниками є сумою дробів, зведених до спільного знаменника. Наприклад, .

Додавання раціональних чисел є комутативним і асоціативним .

Існують дроби правильні і неправильні. Дріб називається правильним, якщо його чисельник менше за знаменник і неправильним, якщо чисельник більший, або рівний за знаменник. Наприклад, .

- це правило виділення цілої частини з неправильного дробу, результатом є мішане число. Будь-яке мішане число можна записати в виді неправильного дробу. Наприклад,

2) Різницею додатних раціональних чисел називається таке число с, що, або . Наприклад,

3) Добутком додатних раціональних чисел є число, яке знаходять за правилом: (для того щоб помножити два дроби потрібно добуток чисельників цих дробів записати в знаменник нового дробу, а добуток знаменників цих дробів записати в знаменник нового дробу). Наприклад, .

Добуток підкоряється комутативному закону і асоціативному .

4) Часткою двох додатних раціональних чисел називається число (щоб поділити дріб на дріб, потрібно перший дріб помножити на обернений до другого дробу). Наприклад,

В множині натуральних чисел є найменше число 1 і N – дискретна множина.

В множині раціональних чисел не існує найменшого числа і між будь-якими двома числами є нескінчена кількість чисел з (властивість щільності множини). Кожне раціональне число можна записати в виді звичайного дробу , або десяткового дробу . Для того, щоб звичайний дріб записати як десятковий =, необхідно і достатньо, щоб в розкладі знаменника були числа 2 і 5.

4. Нескінчені періодичні десяткові дроби.

Візьмемо дріб , його не можна записати десятковим дробом. , але в цьому числі є періоди, такий дріб називається періодичним, пишуть .

Теорема. Якщо звичайний дріб не являється скороченим, і в розкладі знаменника є простий множник, відмінний від 2 і 5, то являється нескінченим десятковим періодичним дробом.

З теореми випливає: будь-яке додатне раціональне число можна представити або скінченим десятковим дробом, або нескінченим періодичним дробом. Чисто періодичний нескінчений дріб дорівнює такому звичайному дробу, чисельник якого дорівнює періоду, а знаменник складається з стількох 9,скільки цифр в періоді дробу. Наприклад, . Мішано періодичний дріб з нулем в цілій частині дорівнює такому звичайному дробу, чисельник якого дорівнює різниці між числом, що записане цифрами(стоять до початку другого періоду) і числом, що записане цифрами (стоять до початку першого періоду), а знаменник складається з такого числа 9, скільки цифр в періоді, і такого числа нулів, скільки цифр стоїть до початку першого періоду. Наприклад, . Існують чисто періодичні дроби – в яких період починається одразу після коми, і мішано періодичні дроби – в яких між комою і періодом є інші десяткові знаки. Наприклад, 0,(857142) і 3,27(346).

Дата добавления: 2014-01-04