Комплексные числа, 3 формы записи, основные операции

Лекция 1.

Часть 2. Теория функций комплексной переменной.

Алгебраическая форма записи комплексного числа z=x+iy, x = Re z – действительная часть (real), y = Im z – мнимая часть комплексной числа (imagine), i – мнимая единица (i² = -1). Степени мнимой единицы: i⁰ =1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, i⁵ = i, i⁶ = -1, i⁷ =-i, i⁸ =1,….значения повторяются через 4. Например, i²³ = i²⁰ i³ = -i, i⁶¹ = i⁶⁰ i = i, и т.д. Если ввести в комплексной плоскости декартову систему координат, то x откладывают на действительной оси в комплексной плоскости (оси абсцисс), y – на мнимой оси (оси ординат).

Если ввести в комплексной плоскости полярную систему координат (полярные координаты ),

то комплексное число можно записать в тригонометрической форме .

Комплексное число можно ассоциировать с его радиусом – вектором. Полярная координата - это модуль радиуса – вектора или просто модуль комплексного числа , а полярный угол - аргумент комплексного числа, .

Аргумент определяется так сложно, потому что имеет область значений , а необходимо обеспечить возможность изменения полярного угла в диапазоне .

Пример. Записать в тригонометрической форме. .

Записать в тригонометрической форме. .

Справедлива формула Эйлера . Это – одна из самых красивых и фундаментальных формул в математике. Достаточно сказать, что из нее следует равенство , связывающее почти все основные математические константы: 0, 1, i, .

Используя формулу Эйлера, можно записать комплексное число в показательной форме . Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы – три формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим операции над комплексными числами. Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее всего производить в алгебраической форме записи.

. Например, . Заметим, что числа называются комплексно сопряженными числами.

Сложение или вычитание комплексных чисел соответствует сложению или вычитанию их радиусов векторов и может быть проведено по «правилу параллелограмма» или «правилу треугольника».

Умножение и деление комплексных чисел тоже можно выполнять в алгебраической форме.

Примеры. ,

. Здесь числитель и знаменатель дроби умножают на число, сопряженное знаменателю, чтобы получить в знаменателе действительное число.

Удобнее выполнять умножение или деление в тригонометрической или показательной формах:

.

.

Итак, действует правило: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Особенно удобно использовать тригонометрическую и показательную формы при возведении комплексного числа в степень.

. С другой стороны, .

Из сопоставления этих выражений получается знаменитая формула Муавра

. Ее удобно применять для выражения синусов и косинусов кратных углов через степени синусов и косинусов самого угла. Например,

,

Отделяя действительные и мнимые части, получим

.

Например, .

Здесь можно было .

Рассмотрим «пятое действие арифметики» – извлечение корня.. Пусть . Тогда . Получим формулу . .

Из формулы ясно, что все корней лежат в комплексной плоскости на круге радиуса с центром в начале координат на равном угловом расстоянии друг от друга , причем первый корень расположен под углом к действительной оси.

Найдем, например, . Определяем

.

Все корни лежат на круге радиусом 2 с центром в начале координат, на угловом расстоянии друг от друга, причем первый корень лежит под углом к действительной оси.

Дата добавления: 2014-01-06