Доведення Теореми

Доведення Леми

ТЕОРЕМА ВЕЄРШТРАСА

Теорема: Нехай f(x) неперервна на [a,b], тоді для ">0, існує :

Лема1: Справедлива рівність:

Лема2: Справедлива рівність:

Лема1: Оскільки а=х, b=(1-х)

Маємо суму

Згідно Леми1:

Тоді:

Далі:

Тоді

Будемо вважати, що [а,в]=[0,1], бо можна це завжди досягнути шляхом заміни змінної.

Розглянемо многочлен Бернштейна:

(1)

Покажемо, що при великих n він задовольняє умови теореми.

(2)

Віднімемо від (1) - (2) матимемо:

(3)

Якщо f(x) неперервна на [0,1], то вона рівномірно неперервна, тобто:

"ε>0$ : "є[0,1]:

ε

Візьмемо " х є[0,1]. Суму в (3) розіб‘ємо на дві:

де сумуємо по тих к для яких і

де сумуємо по тих к для яких

Позначимо через , тоді

Згідно з Лемою2 при х є[0,1]:

, бо , ,

тоді якщо , то , тоді

Тоді:

Для :

Візьмемо такий, що , тоді

#

Зауваження: Справедливе твердження: Якщо f(x)є[0,1] має неперервну похідну до енного порядку включно, то:

Дата добавления: 2014-01-07