Модель рынка с прогнозируемыми ценами

В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функциями цены P(t).

Пример.

Пусть функции спроса d и предложения S имеют следующие зависимости от цены P и её производных:

1) Спрос d(t) “подогревается” темпом изменения цены если темп растет , то рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с входит со знаком минус.

2) Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при в функции больше, чем в . Рост цены также увеличивает предложение, поэтому слагаемое входит в со знаком плюс.

Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством , или (2).

Найдем общее решение однородного уравнения . Корни характеристического уравнения , , , и общее решение однородного уравнения , где и - произвольные постоянные. В качестве частного решения неоднородного уравнения возьмем , - постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в неоднородное уравнение дает .

Общее решение неоднородного уравнения (2) .

При , , т.е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту P =3 и колеблются около неё. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене A =3 с колебаниями около неё, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

Приведем частные решения задачи (2) в двух вариантах: задача Коши и смешанная задача.

1. Задача Коши с начальными условиями

, .

Решение задачи Коши имеет вид: .

2. Смешанная задача: в начальный момент времени известны цена и спрос: P (0)=4, d (0)=16. Из общего решения , используя условие P (0)=4 получим , откуда и . Теперь и . Отсюда и . Подставляя эти равенства во второе условие задачи d (0)=16 получим , откуда .

Решение задачи имеет вид: .

Изобразим интегральные кривые, соответствующие задачам 1 и 2 на рисунке.

Лекция 19. Производственные функции и их характеристики.

Дата добавления: 2014-01-07