Мощности в цепях синусоидального тока

Для каждой фазы активная мощность будет вычисляться по формуле:

.

Для симметричной системы

Тогда активную мощность можно определить как сумму показаний приборов:

.

Теперь нужно определить, что меряет ваттметр. Мы говорили о том, что ваттметр меряет активную мощность, т.е. величину . Рассмотрим симметричную нагрузку без ноль-провода. Включаем ваттметр так, как показано на рисунке: токовую обмотку включаем в фазу А, а напряженческую – произвольным образом. Показания ваттметра будут следующие:

.

Построим векторную диаграмму для определения угла сдвига фаз между и . Из векторной диаграммы следует, что искомый угол равен . Получается, что ваттметр в данном случае показывает реактивную мощность всей трехфазной системы, деленное на :

.

Рассмотрим теперь комплексную мощность системы:

.

Отсюда

.

Казалось бы, для того, чтобы померить мощность в системе, нужно 3 ваттметра (подключенные так, как изображено на самом первом рисунке). На самом деле достаточно 2 ваттметра, даже для несимметричной цепи. Рассмотрим общий случай (несимметричная цепь). Мы говорили о том, что первый закон Кирхгофа справедлив не только для узла, но и для сечения: плотность потока заряда через сечение равна нулю. Тогда

.

Аналогично для комплексно-сопряженных значений:

,

т.е. всего 2 величины являются независимыми:

.

Подставим полученный результат в формулу для комплексной мощности:

.

Отсюда следует, во-первых, что ваттметров, действительно, должно быть 2. Во-вторых, первый ваттметр должен быть включен так, чтобы его токовая обмотка мерила ток в фазе А, а его напряженческая обмотка мерила напряжение : начало – на обмотку А, конец – на обмотку С. Аналогично для второго ваттметра.

Такая схема включения называется схемой Арона.

Вопрос: сколько можно предложить включений ваттметров по схеме Арона?

Ответ: 3, поскольку мы выразили ток через два оставшихся, а можем то же самое проделать для и .

Очевидно, активная мощность в трехфазной цепи:

.

Посмотрим, что показывает каждый из этих ваттметров. Возьмем симметричную нагрузку (см. рисунок). Пусть в цепи имеется прямой порядок чередования фаз. Для определения показания ваттметра нужно определить следующие величины:

,

причем вектор будет направлен к фазе А, потому что . Вектор тока будет повернут вправо относительно вектора напряжения на . Таким образом, первый ваттметр покажет следующее значение:

.

Аналогично, , находится по отношении к вектору под тем же самым углом , тогда

.

Проверяем:

,

действительно получили полную мощность. Посмотрим, что еще можно получить из схемы Арона. Рассмотрим такое соотношение:

.

Т.е. из показаний ваттметров можно вычислить реактивную мощность цепи:

.

Можем определить и полную мощность: . Рассмотрим еще одно соотношение:

,

таким образом, с помощью ваттметра можно определить (не измерить) угол сдвига фаз для симметричной трехфазной цепи. Если оба ваттметра показывают одинаковые значения, то в этом случае нагрузка чисто резистивная, если один из ваттметров зашкаливает, то (по абсолютной величине).

Переходные процессы.

Внезапное изменение токов, напряжений или параметров цепи называется коммутацией. В результате коммутаций протекают переходные токи, идет переходной процесс. В чисто резистивных цепях коммутация не вызывает переходных процессов: если в результате коммутации идет перераспределение энергии, которая накоплена в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора, то только в этом случае происходит переходной процесс.

Представим, что ток через индуктивность изменился скачком. В этом случае напряжение на индуктивности должно быть равно бесконечности, однако

,

мгновенная мощность, которая в таком случае тоже будет равна бесконечности. А поскольку мы имеем дело с источниками ограниченной мощности, получаем

1-й закон коммутации:

В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток не меняют своих значений в момент коммутации и их изменения начинаются с тех значений, которые они имели до коммутации.

Если коммутация происходит в момент времени , то математическая запись будет выглядеть следующим образом:

,

т.е. скачка быть не может. Аналогично, если у нас есть напряжение на конденсаторе, которое меняется скачком, то ток через этот конденсатор должен быть равным бесконечности, а тогда произведение тока на напряжение тоже есть бесконечность что противоречит конечности мощности источника.

2-ой закон коммутации:

Напряжение и заряд на емкости в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации и их изменения начинаются именно с этих значений, т.е.

.

Переменные, значения которых подчиняются законам коммутации, т.е. и , называются независимыми переменными, потому что мы непосредственно из законов коммутации можем определить их начальные значения. Переменные, значения которых мы не можем после коммутации определить непосредственно, называются зависимыми.

Однако существуют такие условия, при которых величины могут изменяться скачком. Но в этом случае напряжение на индуктивности и ток через емкость будут равны бесконечности – случай идеализированный. Вскоре мы «изобретем» такую схему, что мощность источника будет конечна, а мощность на индуктивности – бесконечна.

Дата добавления: 2014-01-07