Повторные испытания. Формула Бернулли

Пусть производится n независимых (повторных) испытаний, в каждом из которых событие А может появиться, либо не появиться. Пусть вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании q= 1 -р.

Покажем, что вероятность Р_n (k) того, что в n испытаниях событие А наступает k раз и не наступит (n-k) раз, может быть вычислена по формуле

.

Назовем наступление k раз события А и ненаступление его (n - k) раз последовательностью события А, состоящую из n занумерованных событий. Очевидно, что в повторных n испытаниях наступление k раз случайного события А и (n - k) раз егоненаступление может реализоваться в различных последовательностях события А.

Событие, сводящееся к наступлению один раз события А и (n -1) раз его ненаступления, реализуется в n последовательностях события А, поскольку одно событие может расположиться в любом из n мест последовательности из n событий. Следовательно, событие наступления один раз события А и (n -1) раз его ненаступления представляет собой сумму n несовместных событий, реализующихся в n различных последовательностях события А, в каждой из которых вероятность наступления один раз события А и (n -1) раз его не наступления по теореме умножения независимых случайных событий равна .

Итак, по теореме сложения независимых событий вероятность появления один раз события А и (n -1) раз его непоявления в n повторных испытаниях P_n (1)= npq^{n- 1}.

Рассмотрим случай два раза наступления события А и ненаступления его (n -2) раза. Назовем наступившие события первым и вторым событиями. Каждая из n последовательностей события А, в которой реализуется первое событие, представляет собой набор (n -1) последовательности, отличающийся вторым событием. Таким образом, общее число последовательностей равно n (n -1), поскольку первое и второе события неразличимы, то общее число различных последовательностей равно величине n (n -1), деленной на число перестановок из двух элементов Р (2)=2!.

Вероятность наступления два раза события А и (n -2) раза его ненаступления в одной последовательности равна , а в последовательностях

.

Аналогично

,

учитывая ,

получим искомую формулу .

Пример 1.8.1.

Вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973. Найти вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.

Решение.

Пусть вероятность промаха при одном выстреле равна Р (А)=0,973. События хотя бы одного попадания и промах образуют полную группу событий, поэтому P (A)+ q ³ =l, или .

Следовательно, вероятность попадания в цель р равна р =1-0,3=0,7.

Вероятность трех попаданий при четырёх выстрелах найдем из формулы Бернулли

.

По условию: n =4, k =3, р =0,7, q =0,3.

Дата добавления: 2014-12-25