КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные операции над матрицами
1. Сумма матриц. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть
Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид
Умножение матрицы на действительное число. Произведением матрицы А на действительное число α называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число α. Пример 2. Пусть даны матрица А и число α:
Тогда произведением матрицы А на число является матрица
Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер, а α и β — некоторые действительные числа. Тогда: 1) А + В = В + А, 2) (А + В) + С = А + (В + С), 3) α(А + В) =αА + αВ, 4) (α + β) A = αA + βA, 5) (αβ)А = (αA)β, 6) A + О = А, где О — нулевая матрица, 7) 0А = О.
55. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц. Умножение матриц — это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-столбцы соответствующих размерностей: иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов. Пусть даны матрица А размером т х п и матрица В размером п х k. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов-строк i размерности п каждый, а матрицу В — как совокупность k векторов-столбцов j, каждый из которых содержит по п координат:
Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В показаны в записи этих матриц (13.3). Длина строки матрицы А равна высоте столбца матрицы В, и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.
Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой cij равны скалярным произведениям векторов-строк i матрицы А на векторы-столбцы j матрицы В:
В операции умножения матриц есть характерная особенность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда если А и В — прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формирующих элементы соответствующей матрицы, должны участвовать векторы с одинаковым числом координат. Если матрицы А и В квадратные размером n х n, то имеет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же, как и у исходных сомножителей. При этом в общем случае перемножения матриц правило перестановочности не соблюдается, т.е. АВ ≠ ВА. Рассмотрим примеры на умножение матриц.
Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (13.4) получаем в произведении матрицу размером 3 х 2:
56. Вырожденные и невырожденные матрицы.
. Матрица порядка п называется вырожденной, если ее ранг r < п.
57. Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицами порядка п. Определение 1. Матрица порядка п называется вырожденной, если ее ранг r < п. Определение 2. Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:
Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ранг r < п, то для нее не существует обратной матрицы.
58. Запись системы линейных уравнений в матричной форме и ее решение с помощью обратной матрицы. Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) x 1, x 2,..., xп имеет вид
Здесь aij и bi — произвольные числа (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (15.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного xi. Решением системы уравнений (15.1) называется набор п чисел x 1 = α1, x 2 = α2, …, xn = α n, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество. Система уравнений (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной. Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (15.1) в матрицу
Эта матрица состоит из m строк и п столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных членов В:
Х и В представляют собой векторы-столбцы, однако в целях единого подхода в рамках матричной алгебры удобнее трактовать их именно как матрицы, состоящие соответственно из п и m строк и одного столбца. Тогда систему линейных уравнений (15.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен т х n, а размер Х — n х 1 и, значит, произведение этих матриц имеет смысл:
61. Миноры и алгебраические дополнения. Ранг матрицы. Рассмотрим определитель n -го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент аij и вычеркнем i- ю строку и j- й столбец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полученный определитель (n - 1)-го порядка называется минором Mij элемента aij определителя Δ n. Пример 1. Найти минор М 32 определителя четвертого порядка
Решение. Минор М 32 элемента a 32 получается вычеркиванием из данного определителя 3-й строки и 2-го столбца. Полученный определитель 3-го порядка равен
Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя (14.3) называется число
Так, для приведенного выше примера алгебраическое дополнение равно
1. Пусть дана матрица, содержащая m строк и п столбцов:
Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка; определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k -го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел т и п, т.е.
Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь среди этих миноров можно найти по крайней мере один минор наибольшего порядка. Определение 1. Наибольший порядок миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы
62. Определитель (детерминант) матрицы. Основная теорема об определителях. Свойства определителей. Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n -го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков. Пусть дана матрица
тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей. 1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. Действительно, согласно общему определению, в каждое из n! слагаемых обязательно войдет сомножителем элемент нулевой строки (нулевого столбца). 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак. Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.
3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю. Действительно, поменяв местами эти строки, получаем Δ n = -Δ n откуда и следует, что Δ n = 0. 4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя. 5 Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя Δ n представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, 6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число. Это свойство является следствием свойств 3-5. 7. При транспонировании матрицы определитель не меняется.
63. Необходимое и достаточное условия невырожденности матрицы. . Матрица порядка п называется вырожденной, если ее ранг r < п. Квадратная матрица является вырожденной, если ее определитель равен нулю. Квадратная матрица A называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу A -1, определяемую условиями AA -1 = A -1 A = 1. Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является det(A) ≠ 0 или rank(A) = N.
64. Формула для вычисления обратной матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение АВ= ВА=Е,
Дата добавления: 2015-05-26; Просмотров: 972; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |