Поверхности вращения

Y

Параболоиды

Гиперболоиды.

Построение поверхностей по их уравнениям методом сечений

1. Такой метод продемонстрируем на эллипсоиде.

Определение. Поверхность, определяемая уравнением

(1)

называется эллипсоидом. Числа называются полуосями эллипсоида.

Определим форму эллипсоида. Так как x, y, z в чётных степенях, то эллипсоид симметричен относительно осей ox, oy, oz. Пересечём его плоскостью z=h.

(2)

0 y Из (2) видно, что с возрастанием h, полу-

оси эллипса и уменьшаются. Можно показать, что при пересечении плоскостя-

x ми x = h и y = h, тоже будут эллипсы. Если

, –cфера.

Каноническое уравнение гиперболоида имеет вид:

(1) - однополостный гиперболоид

Эта поверхность имеет три плоскости симметрии, так как x, y, z в чётных

степенях. Чтобы построить эту поверхность, надо её пересечь плоскостями параллельными координатным плоскостям. В (1) полагаем y=0, в плоскости XOY

z получаем гиперболу

0 y В плоскости ZOY тоже гипербола

x В плоскости XOY – эллипс

- двуполостный гиперболоид, минус перед z ука- зывает на ось симметрии.

z

0 y

x

Эллиптический параболоид 2z = - симметричный относительно оси оz.

z

0 y

x

Гиперболический параболоид (седло) 2z = , p>0, q>0.

z

x

Узнать поверхность по каноническому уравнению и изобразить её.

1) 2). 2

3) 2 4).

5). 2 6).

Определение. Поверхность, образованная вращением линии около оси, называется поверхностью вращения.

Пусть линия L, лежащая в плоскости оxz, задана уравнением

(1)

Получим уравнение поверхности, образованной вращением этой линии относительно оси оz

z N(0,Y,Z); M (x,y,z) - точка поверх-

ности. К – точка пересечения плоскости,

L ⊥-ой оси вращения, N – точка пе -

K

.N ресечения плоскости ⊥-ой оси оz.

M

x 0 y

KN и KM – радиусы окружности, КN=KM. Длина KN = , KM=OP= и , так как точка N лежит на линии L (1), то координаты точки N (O,Y,Z) удовлетворяют второму уравнению из (1), подставим в него F ( , z)=0. → Уравнение поверхности вращения вокруг оси oz. Аналогично, вокруг оси ox F ( , x)=0, вокруг оси oy F ( , y)=0.

Пример 1. Записать уравнение поверхности вращения линии вокруг оси oz.

Решение. В данном уравнении заменим на получим + это эллипсоид вращения.

Пример 2. Записать уравнение поверхности, полученной от вращения линии вокруг оси ox.

Решение. В данном уравнении заменим на , получим - =1

это двуполостный гиперболоид.

Лекция 15. Преобразование прямоугольной системы координат в . Квадратичные формы.

Дата добавления: 2017-02-01