Распределения

Показатели безотказности для усеченного нормального

Функция плотности распределения вероятностей классического нормального распределения записывается в виде:

(3.6.)

где: m_t - математическое ожидание классического распределения;

s _t - среднеквадратическое отклонение.

Условие нормирования этой функции:

(3.7)

Для случая t = m_t :

Для случая :

Рис. 4.3. Графики функций классического нормального распределения при условии: m_{t 1}< m_{t 2}< m_{t 3} и s _{t 3}<s _{t 2}<s _{t 1.}

Поскольку случайная величина - наработка до отказа Т - теоретически изменяется в пределах от нуля до бесконечности, необходимо часть кривой распределения f (t), определяемой формулой (4.6.) для t< 0 отсечь (т. е. устранить из рассмотрения). В этом случае имеет место усеченное нормальное распределение. Чтобы сохранить условие нормирования, а именно - площадь под кривой усеченного нормального распределения должна быть равна единице, вводится коэффициент усечения C ₀. Для нахождения коэффициента усечения С ₀ запишем условие нормирования:

(3.8)

А коэффициент усечения равен:

(3.9)

После ряда преобразований С ₀ равен:

, (3.10.)

где: Ф - нормированная функция Лапласа;

F - интеграл Лапласа.

Таблица 3.3.

Значения С 0 для разных отношений
mt /s t	0,5	1,0	1,5	2,0	3,0	4,0	5,0
C 0	1,446	1,186	1,071	1,023	1,001	@1,0	@1,0

Функция распределения наработки до отказа для усеченного нормального распределения:

(3.11.)

Вероятность безотказной работы и вероятность отказа с учетом (3.11.) и после преобразований запишем:

(3.12.)

при t = m_t и при

, т.к. Ф (0)=0 и С ₀@1,0

Для усеченного нормального распределения на практике имеет место T ₀» m_t, если равенство P (t) и q (t), как и для равномерного распределения, наступает при наработке, равной средней наработке до отказа t=T ₀.

Таблица. 3.4.

Расчетные значения P (t) для двух
T	0,5 T 0	0,7 T 0	T 0	1,3 T 0	1,5 T 0	2 T 0
P (t)	0,7565	0,6882	0,4539	0,3258	0,2032	0,0651
P (t)	0,9937	0,9332	0,5	0,0668	0,0063	3×10^-6

Данные таблицы показывают, что наибольшее число отказов происходит в интервале наработки от (T ₀-0,5s _t) до (T ₀+0,5s _t), т. е. при =1 наибольшее число отказов происходит в широком интервале наработки: от 0.9 Т ₀ до 1.5 Т ₀. В случае наибольшее число отказов происходит в значительно узком интервале наработки: от 0,9 T ₀ до 1,1 T ₀.

Такой результат более предпочтителен, так как в более узком интервале наработки отказы становятся более вероятны, значит, легче организовать и обеспечить обслуживание и восстановление отказавших объектов.

		t

	0,5T0		1,5 T0		2T0

Рис.3.4 Графики P (t) для усеченного нормального распределения.

Интенсивность отказов усеченного нормального распределения найдем по формуле:

(3.13.)

l(t)

С ростом наработки поведение кривой l(t) определяется как ходом функции усеченного нормального распределения, так и ходом функции надежности P (t).

	l(0)=f(0)
		T0=mt

Рис.3.5 Графики функций и l(t) для одного значения отношения при .

При t=T _o и P (t=T _o)=0,5, l(t=T ₀) равно удвоенному значению "высоты" функции и t>T _o интенсивность отказов увеличивается.

Средняя наработка до отказа определим по формуле:

(3.14.)

Проведя преобразование T ₀ формулы (3.14), получаем:

где (3.15.)

Таблица 3.5.

Значения коэффициента К 0 для разных отношений
	0,5	1,0	1,5	2,0	3,0	4,0	5,0
К 0	0,51	0,29	0,095	0,055	0,02	0,007	0,0026
T 0/ mt	2,02	1,29	1,063	1,027	1,006	1,002	,10005

Из Табл.3.5. видно, что превышение Т _о над m_t существенно при , а при можно считать .

Усеченное нормальное распределение имеет среднеквадратические отклонения , отличное от классического нормального распределения. Для определения найдем дисперсию наработки до отказа, используя формулу (3.5):

(3.16.)

Подставив в формулу (3.16) выражение (3.15) и проведя преобразование, получаем:

При , а

При , а

Следовательно, при

Особенности усеченного нормального распределения следующие:

1. Для в пределах 3…10 число отказов для объектов, находящихся под наблюдением в интервале наработки [0…(0,7….0,9) Т ₀] увеличивается мало, достигая величины порядка n (t)» (0,07….0,1) N;

2. Основное число объектов отказывает в интервале наработки (0,8…1,2) Т _о при ;

3. При t = T ₀ P (T ₀)=0,5, как в случае равномерного распределения - примерно половина объектов переходит в неработоспособное состояние;

4. При функция надежности приближается к идеалу- релейной функции: Р (t) резко падает от Р (t ₁)»1,0 до Р (t ₂)»0, т. е. все объекты отказывают в узком интервале наработки (t ₁…. t ₂).

Дата добавления: 2014-01-05