Прямая на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной вектору

Прямая и плоскость

Уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , получают на основе использования скалярного произведения двух векторов.

Рисунок 1. Прямая, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная вектору .

Пусть М(х, у) – произвольная точка прямой (рис 1). Тогда и по условию перпендикулярности векторов

(2)

Если в уравнении (2) раскрыть скобки, то получится общее уравнение прямой

ax + by + c = 0 (3)

где с =

Вектор называется нормальным вектором прямой, заданной уравнением (2) или (3).

Если b ≠0, то из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 следует

y = или (4)

где k = -a/b и β= -с/b.

Уравнение (4) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Параметр k равен тангенсу угла αнаклона прямой к оси Ох (k= tg α) и называется угловым коэффициентом. Параметр β − ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Если b ≠0, то из уравнения (2) получается уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку

где k = -a/b.

Если даны две точки и , лежащие на прямой , то

k =

и уравнение принимает вид

.

Если прямая проходит через две точки М (а, 0) и N (0, b), лежащие на осях координат, то ее уравнение

называется уравнением прямой в отрезках на осях.

Угол , отсчитываемый против часовой стрелки от прямой (рис 2), заданной уравнением y = k₁x + , до прямой , заданной уравнением y = k₂x+, определяется формулой

Кроме того, для вычисления углов между прямыми (рис. 2), заданными уравнениями

φ

a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0,

справедлива формула

,

где и .

Условие параллельности прямых имеет вид

k₁ = k₂, или a₁/a₂ = b₁/b₂.

Условие перпендикулярности прямых выражается в виде

k₂= -1/k₂, или a₁/a₂ + b₁/b₂ = 0

Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых

a₁x + b₁y +c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0, нужно решить систему уравнений

Расстояние от точки до прямой ax + by + c = 0 находится по формуле

Дата добавления: 2014-10-17