Способы нахождения возможных перемещений

Пример 2

Эллиптический маятник (модель грузоподъёмной самоходной машины или крана) состоит из ползуна 1, материальной точки В и соединяющей их нити АВ = l (рис. 1.12). Движение системы происходит в плоскости рисунка.

Определим число стержней свободы.

Ползун движется по горизонтальной направляющей поступательно (т.е. обладает одной степенью свободы). Точка В, вынужденная оставаться на плоскости рисунка, имеет 2 степени свободы (см. рис. 1.3). На систему наложена дополнительно внутренняя гео-метрическая связь . Следовательно, = 1 + 2 –1 = 2.

Рис. 1.12

В качестве обобщенных координат можно принять: (рис. 1.12).

В этом случае:

;

.

Таким образом, координаты точек системы выражены через принятые обобщённые координаты и , или иначе: положение системы определено однозначно через и .

Поскольку обобщённые координаты между собой независимы, то каждую из них можно изменять, оставляя остальные неизменными. Если таким способом мысленно бесконечно мало изменять положение системы, то получим её различные возможные перемещения. Естественно, что при этом и точки системы будут получать какие-то свои возможные перемещения. Все они называются частными возможными перемещениями точек, происходящими от изменения одной из обобщённых координат и обозначаются и т.п. Индексы 1, 2 и т.д. указывают порядковый номер той обобщённой координаты , которая изменяется на бесконечно малую величину и т.д. Конечно, можно дать системе возможное перемещение сразу изменив несколько или все . В реальных условиях действительные перемещения системы и её точек происходят, как правило, при одновременном изменении всех обобщённых координат на и т.д. Такие действительные перемещения точек системы представляют собой полные дифференциалы функций S независимых переменных (по числу степеней свободы):

, (1.6)

в которых слагаемыми являются частные дифференциалы функций

Аналогично вычисляются и полные возможные перемещения точек системы:

(1.7)

В отличие от полных и частных дифференциалов функции S переменных они называются полными и частными вариациями этих функций.

Найдём, например в примерах, рассмотренных выше.

Кривошипно-ползунный механизм (см. рис. 1.11)

Пусть . Тогда, варьируя функции , получаем:

;

;

Аналогично находим вариации декартовых координат точек эллиптического маятника (см. рис. 1.12). Варьируя функции (г), (д), (е), получим:

;

;

.

Рассмотренный приём вычисления возможных перемещений точек (путём варьирования функций) является аналитическим. Его легко реализовать на компьютерах, предварительно записав сами функции, которые подвергаются этой операции.

Существует и геометрический способ. Он обладает большей наглядностью, но надо быть очень аккуратным в построениях и соответствующих вычислениях. Кроме этого обязательным является хорошее знание кинематики. С этими приёмами более подробно мы познакомимся при рассмотрении принципа возможных перемещений и при решении задач с его применением.

Дата добавления: 2014-11-29