Принцип возможных перемещений

Идеальные связи

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

До сих пор из множества связей, накладываемых на точки и тела, мы рассматривали такие, которые характеризовали только геометрические и отчасти кинематические ограничения движений. К ним относились геометрические стационарные удерживающие связи. И в дальнейшем мы будем рассматривать только такие связи, но дополним их свойство таким, которое учитывает динамический характер взаимодействия тела и связи.

В статике действие связи учитывалось при помощи понятия «сила реакции связи». Здесь же мы рассматриваем перемещения несвободных точек, тел, систем. Действие любой силы на каких-то перемещениях точки её приложения оценивается работой этой силы. Встаёт вопрос: а совершают ли работу силы реакции, как её подсчитать? В реальных условиях, конечно же, силы реакции совершают работу. Например, работа сил упругости пружины при её деформировании, работа сил трения при скольжении тел по негладким поверхностям, работа сил сопротивления перекатыванию тел. В одних случаях они выполняют положительную роль, в других – отрицательную с точки зрения реализации тех или иных требуемых движений. Но есть и такие связи, реакции которых никакую работу не совершают или ею можно практически пренебречь. Например, в случае достаточно гибкой и практически нерастяжимой нити.

Условимся в дальнейшем рассматривать только такие связи, у которых силы реакции работу не совершают. Такие связи называются идеальными. К ним относятся гладкие (без трения) поверхности; стержневые связи с идеальными шарнирами; нерастяжимые нити. Конечно, в реальных условиях таких связей нет: невозможно полностью освободиться от действия сил трения, от сил упругости и т.п. Но можно перевести их в разряд активных сил, например, таких, как сила тяжести, и учитывать их действие наравне с действием других заданных сил.

Итак, все связи в дальнейшем будем считать идеальными, т.е. такими, что работа их сил реакции на любом возможном перемещении точки (тела, системы) равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из точек, на которые наложены идеальные геометрические стационарные удерживающие связи, Пусть к точкам системы приложены некоторые силы. Разделим их на силы активные () и силы реакции (). Будем считать, что рассматриваемая система находится в равновесии. Выделим из неё одну точку под номером . Она находится в равновесии. Поэтому

+ = 0. (а)

Здесь под подразумевается равнодействующая всех активных сил, приложенных к выделенной точке (например, сила тяжести её, сила трения, сила давления со стороны другого тела и т.п.), а под – равнодействующая сил реакций всех связей, наложенных на точку .

Дадим системе любое возможное перемещение. При этом выделенная точка получит какое-то своё возможное перемещение . Вычислим суммарную возможную работу, совершаемую всеми силами, приложенными ко всем точкам системы на их возможных перемещениях:

.

С другой стороны:

,

так как реакции идеальных связей не совершают работу на любом возможном перемещении точки их приложения.

Итак, для равновесия системы, на которую наложены идеальные, стационарные удерживающие связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ активных сил, приложенных к точкам системы, на её любом возможном перемещении равнялась нулю.

Это и есть принцип возможных перемещений. Математическая запись полученного результата (без уточнения характеристик наложенных связей):

при равновесии системы . (2.1)

Уравнение (2.1) называется уравнением возможных работ. Покажем, что выполнение его является необходимым и достаточным условием равновесия рассматриваемого класса систем.

При выводе (2.1) исходим из того, что система находится в равновесии, т.е. необходимое условие равновесия выполнено.

Теперь о достаточности (2.1) для равновесия системы. Предположим, что (2.1) выполняется, но равновесия нет, и какая-то хотя бы одна точка движется с ускорением. При рассматриваемых связях (стационарные, удерживающие) действительное перемещение этой точки совпадает с одним из возможных. Мы давали системе любое возможное перемещение. Для рассматриваемой (не находящейся в равновесии) точки, оно (возможное перемещение) могло совпасть с её действительным перемещением. В этом случае избыток активных сил, приложенных к точке, совершит положительную работу, и сумма окажется больше нуля. Мы пришли к противоречию, т.к. исходили из того, что (2.1) выполняется. Следовательно (2.1) является и достаточным условием для равновесия системы.

Дата добавления: 2014-11-29