Матрица ортогонального преобразования

Посмотрим теперь, какой матрицей задается ортогональное преобразование в ортонормированном базисе.

Квадратная матрица порядка с действительными элементами называется ортогональной, если , где − транспонированная матрица и − единичная матрица -го порядка.

Из этого определения следует, что

1) Квадратная матрица порядка тогда и только тогда ортогональна, когда ее транспонированная матрица равна обратной матрице : , .

2) Если − ортогональная матрица, то транспонированная матрица также ортогональна.

В самом деле, и , , откуда .

3) Определитель ортогональной матрицы равен , в силу чего − невырожденная матрица (впрочем, невырожденность следует уже из того, что ).

В самом деле, , откуда | .

Отметим, что если, обратно, определитель квадратной матрицы порядка равен , то матрица может и не быть ортогональной. Например, определитель матрицы

равен 1, но произведение не равно единичной матрице второго порядка.

4) Произведение двух и более ортогональных матриц порядка есть также ортогональная матрица.

Доказательство. (Для случая двух матриц.) Пусть и − две ортогональные матрицы -го порядка. Обозначим их произведение через . Ясно, что − матрица также с действительными элементами. Кроме того,

.

Следовательно, − ортогональная матрица.

Предоставляем читателю провести доказательство для любого числа ортогональных матриц с помощью метода математической индукции.

5) Если − ортогональная матрица, то обратная матрица также ортогональна.

В самом деле, очевидно, что элементы действительны и .

Теорема 1. Линейное преобразование евклидова пространства тогда и только тогда ортогонально, когда оно задается в ортонормированном базисе ортогональной матрицей.

Доказательство. Возьмем какой-нибудь ортонормированный базис . Если − ортогональное преобразование, то система образов также является ортонормированным базисом.

Пусть теперь − матрица в базисе . Тогда , . Пользуясь выражением скалярного произведения в ортонормированном базисе, получаем отсюда, что , . С другой стороны, и при в силу ортонормированности системы . Следовательно, и при . Из этих равенств видно, что , т.е. − ортогональная матрица.

Обратно, пусть некоторое линейное преобразование пространства задается ортогональной матрицей

в ортонормированном базисе . Рассмотрим систему образов (). Так как , то и при . Но, с другой стороны, и . Следовательно, и при , т.е. преобразование переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис , в силу чего − ортогональное преобразование.

Назовем теперь линейное преобразование неизвестных в новые неизвестные ортогональным, если матрица этого линейного преобразования ортогональна. Тогда из теоремы 3 вытекает, что линейное преобразование евклидова пространства ортогонально тогда и только тогда, когда вызываемое им линейное преобразование

(1)

координат вектора в ортонормированном базисе ортогонально.

Действительно, матрицей линейного преобразования (1) координат вектора является матрица линейного преобразования в ортонормированном базисе , в силу чего преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда ортогонально преобразование (1).

Существует, впрочем, другое определение ортогонального преобразования неизвестных. Оно вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2. Линейное преобразование (1) координат ортогонально тогда и только тогда, когда оно оставляет инвариантным сумму квадратов этих координат: .

Доказательство. Пусть в некотором ортонормированном базисе матрица преобразования (1) задает линейное преобразование пространства . Возьмем вектор . Вектор будет, очевидно, образом вектора . Так как − ортонормированный базис, то и . Если теперь преобразование (1) ортогонально, то и ортогонально, вследствие чего , т.е. . Обратно, если , то , т.е. ортогонально, и потому преобразование (1) также ортогонально.

Дата добавления: 2015-05-29