Ортогональное дополнение пространства

Пусть − некоторое подпространство размерности евклидова пространства . Очевидно, что является также евклидовым пространством, так как скалярное произведение векторов, определенное в , будет тем самым определено и в . Назовем ортогональным дополнением подпространства множество векторов, ортогональных к каждому вектору из . Мы будем это множество обозначать через .

Лемма 1. Ортогональное дополнение подпространства также является подпространством, причем сумма размерностей подпространств и равна − размерности всего евклидова пространства . При этом только нулевой вектор входит одновременно в и в .

Доказательство. Пусть − ортонормированный базис и − координатная строка вектора () при некотором ортонормированном базисе евклидова пространства . Любой вектор из ортогонального дополнения , очевидно, ортогонален к каждому из векторов :

, .

Обратно, если вектор из ортогонален к каждому из векторов , то он будет ортогонален к любой линейной комбинации этих векторов, т.е. будет ортогонален к любому вектору из подпространства . Вектор , таким образом, будет принадлежать ортогональному дополнению . Мы видим отсюда, что система линейных однородных уравнений

,

задает ортогональное дополнение . Эта система уравнений в силу линейной независимости векторов имеет ранг, равный . Следовательно, является подпространством размерности .

Наконец, пусть − вектор, принадлежащий как подпространству , так и ортогональному дополнению . Тогда вектор должен быть ортогонален самому себе: , откуда .

Лемма 2. Если подпространство инвариантно относительно симметрического преобразования у евклидова пространства , то ортогональное дополнение также инвариантно относительно .

Доказательство. Пусть − некоторый вектор из и − некоторый вектор из . Тогда , так как в силу инвариантности образ должен принадлежать . Поскольку образ оказался ортогональным к вектору , он должен принадлежать , т.е. инвариантно относительно .

Теорема (об ортонормированном базисе из собственных векторов симметрического преобразования). Преобразование евклидова пространства тогда и только тогда является симметрическим, когда существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Дата добавления: 2015-05-29