Примеры комплексных задач

Рассмотренные вопросы построения параллельных и пер­пендикулярных прямых линий и плоскостей позволяют решать комплексные задачи. Рассмотрим некоторые типовые задачи и примеры их решения.

Пример 1 (рис. 4.24). Даны плоскость Р, заданная проекциями e'f, ef и q'h', qh пересекающихся прямых; проекции m'l', ml и т'п', тп пересека­ющихся прямых ML и MN, проекции a'b', ab и b'V, Ы пересекающихся прямых АВ и BI, определяющих плоскость четырехугольника ABCD.

Требуется построить проекции этого четырехугольника, если вершина С лежит на прямой BI и равноудалена от сторон угла NML, а сторона AD па­раллельна плоскости Р и равна 85 мм.

В данном случае может быть принят, например, следующий план реше­ния (см. рис. 4.25):

находят проекции с', с вершины С как точки, принадлежащей прямой BI и равноудаленной от сторон угла LMN;

строят проекции прямой, на которой должна быть расположена сторона AD, как прямой, лежащей в плоскости ABI и параллельной плоскости Р, т. е. как прямой, параллельной линии пересечения этих плоскостей и проходя­щей через точку А;

строят проекции a'd', ad стороны AD, для чего на построенной прямой откладывают заданную величину стороны AD и получают точку ТУ,

проводят сторону CD через построен­ные точки.

Построения приведены на рисунке 4.25. Построение проекций с', с вершины С мно­гоугольника, равноудаленной от сторон угла и лежащей на заданной прямой, приведе­но в левой части рисунка 4.25.

Точки, равноудаленные от сторон угла LMN, лежат в биссекторной плоскости этого угла.

В общем случае для ее построения нуж­
но иметь биссектрису угла и пересекающий­
ся с ней перпендикуляр к плоскости угла. р_ис. 4.24

Эту задачу можно упростить, построив биссекторную плоскость как пер­пендикулярную к середине равнобедренного треугольника, построенного на сторонах угла.

Для построения проекций 1'2', 1—2 основания равнобедренного тре­угольника с проекциями 1'т'2\ 1—т—2на проекциях каждой из сторон выби­рают произвольные точки, например точки с проекциями Г, In 3', 3. Строят натуральные величины ml и т'З отрезков с проекциями т'1', т—1 тлт'З', т—3. На натуральной величине одного из отрезков, например т'3, от­мечают натуральную величину другого отрезка — т Г (точку 2\т'2\ = [тТ]). По точке встроят проекции m'2', m—2 отрезка, равного по длине отрезку с проекциями m'l', m—1.

Проекцию биссекторной плоскости S угла LMN задают проекциями k'h'₂, kh₂ горизонтали и k'g', kg фронтали, перпендикулярными к основанию с проекциями Г2', 1—2 треугольника и проведенными через его середину — точку с проекциями к', к (см. рис. 4.19).

Проекции с', с вершины С на прямой BI находят как проекции точки пересечения этой прямой с плоскостью S. Для этого используют вспомога­тельную горизонтально-проецирующую плоскость со следом Rh, в которую заключают прямую с проекциями b 7', Ы. Горизонтальную проекцию 4—5 линии пересечения плоскости S с плоскостью R отмечают в пересечении горизонтальных проекций kh₂ и kg и следа R^ Ее фронтальную проекцию 4'5' строят с помощью линий связи. В точке пересечения проекций 4'5' и b'i' находят фронтальную проекцию с'вершины С, а по ней — горизон­тальную проекцию с.

.Сторону AD, параллельную заданной плоскости Р, можно построить как линию, параллельную линии пересечения плоскости многоугольника и плос­кости Р, или как линию пересечения плоскости многоугольника со вспомога­тельной плоскостью Q, параллельной плоскости Ри проходящей через заданную вершину. Построение линии пересечения двух плоскостей в общем случае рассмотрено в 4.2, а для первого случая приведено выше (см. рис. 4.9).

Второй вариант построения приведен на рисунке 4.25. Это построение в данном случае облегчается тем, что одна общая точка плоскости многоуголь­ника и вспомогательной плоскости Q уже имеется (плоскость Q проходит через данную вершину А).

Проекции плоскости Q, параллельной плоскости Р, задают проекциями q\h\, q_xh_x и e[f[ прямых, проходящих через вершину с проекциями а', а и параллельных проекциям q'h', qh и e'f, ef заданных прямых.

Вторую общую точку плоскости Q и плоскости многоугольника находят с помощью вспомогательной, например горизонтальной, плоскости Т, за­данной следом Т_и.

С плоскостью многоугольника она пересекается по прямой, проекции которой 6'7', 6—7, с плоскостью Q — по прямой, проекции которой 8'9', 8—9. В пересечении горизонтальных проекций 6— 7 и 8—9 этих прямых на­ходят горизонтальную проекцию 10, а по ней фронтальную проекцию 10' искомой общей точки. Через их проекции и проекции а' и а проводят проек­ции 10'а', 10—а искомой стороны многоугольника. На них отмечают про­екции d', d искомой вершины по заданной величине a'D стороны AD (построив предварительно натуральную величину отрезка а'П).

Через построенные точки с', с и d', d проводят проекции cd, c'd' и d'a', da сторон.

Пример 2 (рис. 4.26). Даны: плоскость Р, заданная проекциями к'Г, kl и k'q', kq пересекающихся прямых; проекции т', т и n', n двух точек; про­екции d'e', de и d'i', di пересекающихся прямых и фронтальная проекция а 'е' стороны АЕ плоского пятиугольника ABCDE.

Требуется построить проекции этого пятиугольника, если вершина С ле­жит на прямой DI и равноудалена от точек М и N, а сторона АВ параллельна плоскости Р и равна 70 мм.

В данном случае может быть принят, например, следующий план решения:

находят проекции с', с вершины С как точки, принадлежащей прямой DI и равноудаленной от точек М и N;

находят недостающую горизонтальную проекцию а из условия принад­лежности точки А плоскости, заданной пересекающимися прямыми с про­екциями d'e', de и d'i\ di\

строят проекции a'b', ab стороны АВ (как и стороны AD в примере 1); проводят проекции b'c', be стороны ВС через построенные проекции точек.

Рассмотрим из указанных построений только построение на проекци­ях прямой проекций с', с точки (вершины С), равноудаленной от двух заданных точек М и N. Множеством точек, равноудаленных от двух задан­ных точек Ми N, является плоскость S, проведенная через середину отрез­ка MN перпендикулярно к нему. В точке пересечения плоскости Sc заданной прямой находят искомую вершину С.

Построение проекций с', с вершины С приведено на рисунке 4.27.

Проекции плоскости S задают проекци­ями двух главных линий — Гк', 1—k фрон- t тали и 2'к', 2—к горизонтали. Они перпен­дикулярны к отрезку, заданному проекциями т'п', тп, и проходят через его середину — точки к', к. Проекции с', с точки пересе­чения прямой DI с плоскостью S находят с помощью фронтально-проецирующей плоскости, задаваемой следом Р„.

Пример 3 (рис. 4.28). Даны: плоскость, заданная следами Р_и и Д, проекции т\ т, п\ п и /', / трех точек и проекции Ь'с\ be и b '/', Ы двух пересекающихся прямых, определяющих плоскость четырехугольни­ка ABCD.

Построить проекции этого четыреху­гольника, если вершина А равноудалена от точек М, N и L, сторона CD параллельна плоскости Р и равна 85 мм.

План решения в данном случае может быть принят, например, следующий:

строят проекции а', а вершины как точ­ки заданной плоскости и равноудаленной от трех заданных точек;

строят проекции c'd', cd стороны (как и стороны AD в примере 1);

проводят проекции a'd', ad стороны через построенные проекции точек.

Рассмотрим построение на плоскости
Рис. 4.27 точки, равноудаленной от трех заданных то-

чек М, N и L. Известно, что точки, равно­удаленные от трех заданных точек М, Nn L, лежат на перпендикуляре, проведенном из центра описанной окружности, проходящей через точки М, N и L. Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью заданного многоугольника является искомой вершиной.

Построение проекций вершины приве­дено на рисунке 4.29.